МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ Національний авіаційний університет Факультет кібербезпеки, комп’ютерної та програмної інженерії Кафедра комп’ютерних систем та мереж Лабораторна робота №1 З дисципліни «Спеціалізовані архітектури комп’ютерів» За темою: «Елементарний вступ в MATLAB. Пряме та зворотне дискретне перетворення Фур’є» Перевірив: Малярчук В.О. Київ 2021 Мета роботи: Освоїти графічний інтерфейс користувача та виконати найпростіші обчислення в програмному середовищі MATLAB. Ознайомитися з прямим та зворотнім дискретним перетворенням Фур’є. Короткі теоретичні відомості: • MATLAB — пакет прикладних програм для числового аналізу, а також мова програмування, що використовується в даному пакеті. Система створена компанією «The MathWorks» і є зручним засобом для роботи з математичними матрицями, малювання функцій та роботи з алгоритмами. Програмне середовище надає користувачеві велику кількість функцій для аналізу даних, які покривають майже всі області математики. Інтерфейс початкового вікна складається з декількох частин : Command window (приймає два значення), Workspace (висвічує змінні, їх значення та тип даних) , Current directory (висвічує назви всіх написаних функцій), а також Command History (відображає дату і весь хід роботи). В результаті виконання певних операцій у вікні Workspace можуть з’явитися нові змінні, а у в ікні Command History виконані команди. • Ми сприймаємо інформацію через сигнали, які генеруються певним джерелом або генератором, що не пов’язані з джерелом. Інформація передається за допомогою коливань різної природи, зокрема, за допомогою гармонічних ко ливань, включно з нульовою частотою. В електронних системах переносниками є електричні сигнали. Сигнал – це змінна фізична величина. Що забезпечує передачу інформації лінією зв’язку. В загальному сигнали розподіляються на два види: детерміновані і випадкові. Детерміновані сигнали характеризуються визначеністю значень в будь - які моменти часу, а випадкові, тим що їх значення в будь -який момент часу є випадковими. Випадковими можуть бути як корисні, так і шкідливі сигнали. В приклад детермінованого сигналу мо жна віднести синусоїдальну хвилю, яка графічно описується синусоїдою. Її запис наступний: ƒ(?) = ? sin(?? + ?) де величину сигналу визначає коефіцієнт А, названий амплітудою; ω – кутова частота; θ – початкова фаза. Синусоїда разом з трикутним, пилкоподібним, прямокутним та іншими сигналами належить до періодичних сигналів, тобто до таких, які повторюють свою форму через деякий сталий проміжок часу. Будь-який складний періодичний сигнал може бути поданий за допомогою ряду Фур'є як сума простих га рмонічних коливань. Сукупність простих гармонічних коливань, на які може бути розкладений складний періодичний сигнал, називається його спектром. Розподіл амплітуд гармонік за частотою називають амплітудно -частотним спектром, а розподіл їхніх початкових фаз за частотою – фазочастотним спектром. • Перетворення Фур'є – інтегральне перетворення однієї комплекснозначної функції дійсної змінної на іншу. Тісно пов'язане з перетворенням Лапласа та аналогічне розкладу у ряд Фур'є для неперіодичних функцій. Це перетворення розкладає дану функцію на осциляторні функції. Викорис товується для того, щоб розрахувати спектр частот для сигналів змінних у часі (як -от мова або електрична напруга). Перетворення названо на честь французького математика Жана Батиста Жозефа Фур'є, який ввів поняття в 1822 році. Перетворення Фур'є функції ƒ(?) математично визначається як комплексна функція ?(?), яка задається інтегралом ?(?) = ∫ ƒ(?)?−????? ∞ −∞ Обернене перетворення Фур'є задається виразом 1 2? ∫ ?(?)?????? = ƒ(?) ∞ −∞ Перетворення Фур’є мають властивості лінійності, трансляції, модуляції, масштабування, спряження та згортки. Перетворення Фур'є застосовуються для отримання частотного спектру неперіодичної функції, наприклад, електричного сигналу, тобто для подання сигналу у вигляді суми гармонічних коливань. При цьому використовується властивість згортки. Хід роботи: 1. Виконання найпростіших арифметичних обчислень (множення; ділення; додавання; віднімання) зображено на рис. 1. Рис. 1 Найпростіші арифметичні обчислення в системі MATLAB. 2. Виконання математичних обчислень з матрицями (складення, множення, звернення до елементів масиву) зображено на рис. 2. Рис. 2 Математичні операції з матрицями. 3. Роботу з функціями (функція множення й зменшення результату на одиницю) зображено на рис. 3. Рис. 3 Операції з функціями. 4. Далі продовжимо роботу з функцією перетворення Фур’є. Лістинг функції нижче: function fDFFT Fs = 1000; % sampling frequency T = 1/Fs; % Sample time L = 1000; % Length of signal t = (0:L-1)*T; % Time vector % Sum of a 50 Hz sinusoid and a 120 Hz sinusoid x = 0.7*sin(2*pi*50*t) + sin(2*pi*120*t); y = x + 2*randn(size(t)); % Sinusoids plus noise plot(Fs*t(1:50),y(1:50)); title('Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise') xlabel('time (milliseconds)') grid on pause; NFFT = 2^nextpow2(L); % Next power of 2 from length of y tic; Y = fft(y,NFFT)/L; toc f = Fs/2*linspace(0,1,NFFT/2); % Plot single-sided amplitude spectrum. plot(f,2*abs(Y(1:NFFT/2))) title('Single-Sided Amplitude Spectrum of y(t)') xlabel('Frequency (Hz)') ylabel('|Y(f)|') grid on pause; newy = ifft(Y,NFFT)*L; plot(Fs*t(1:50),y(1:50)) hold on plot(Fs*t(1:50),newy(1:50),'r--') title('Signal Corrupted with Zero-Mean Random Noise') xlabel('time (milliseconds)') grid on hold off end Викличемо функцію та отримаємо зображення перших 50 точок ШПФ (рис.4). Рис. 4 Перші 50 точок сигналу ШПФ. Після натискання будь-якої клавіші отримаємо АЧХ сигналу (рис.5). Рис. 5 АЧХ сигналу. Якщо натиснути ще раз будь-яку клавішу, отримаємо графік сигналу після ШПФ (червоний), та вихідний сигнал (синій) (рис. 6). Рис. 6 Сигнал після ШПФ (червоний), вихідний сигнал(синій). Висновок: В даній лабораторній роботі було освоєно інтерфейс програмного середовища MATLAB. Виконані найпростіші арифметичні обчислення, а також проведена робота з найпростішими функціями. Досліджено процес прямого і зворотного дискретного перетворення Фур’є, за допомогою програмного середовища MATLAB. Контрольні питання: 1. Якими обов’язковими в ластивостями повинна володіти лінійна система? Описати ці властивості. Обов’язковими для лінійної системи є дві властивості: однорідність та адитивність. Третьою не обов’язковою властивістю є інваріантні сть до зсуву. Однорідність – властивість ЦОС системи, яка означає, що при зміні амплітуди вхідного сигналу, має змінитися амплітуда вихідного. Тобто , якщо вх. сигнал x[n], що викликає вихідний y[n], то при виклику kx[n], вихідний сигнал буде ky[n]. Рис. 7. Рис. 7 Визначення однорідності. Адитивність – властивість ЦОС системи, яка означає, що при додаванні вхідних сигналів, вихідні теж мають додаватися. Тобто, якщо ми маємо вхідний сигнал x 1[n], що викликає вихідний y 1[n], а також вхідний сигнал x 2[n], що викликає вихідний y2[n], то при виклику x1[n] + x2[n] викликається і y1[n]+ y2[n]. Рис. 8. Рис. 8 Визначення адитивності. Інваріантність до зсуву – властивість ЦОС системи, яка означає, що зсув вхідних сигналів викликає зсув вихідних сигналів. Тобто, якщо вхідний сигнал x[n], а вихідний – y[n], то при виклику x[n+1], вихідний стане y[n+1]. Рис. 9. Рис. 9 Визначення інваріантності до зсуву. 2. З якою ціллю використовують статичну лінійність та гармонічну достовірність? Властивості статичної лінійності і гармонійної достовірності дають вченим та інженерам більше інтуїтивного відчуття, що ж являють собою лінійні системи. Вони не дуже важливі з математичної точки зору, але встановлюють зв’язок між думками і розумінням стосовно лінійних систем. Статична лінійність відображають поведінку лінійної системи при незмінних сигналах. Все доволі просто: вихід дорівнює входу помноженому на константу (y[n] = kx[n]). Тобто графіком є пряма лінія, що проходить через початок координат. Гармонійно достовірна властивість – якщо на вхід подати синусоїдальний сигнал, то на виході теж буде синусоїдальний сигнал з тією ж частотою. До того ж синусоїда є єдиною формою сигналу, яка володіє цією властивістю. 3. Якими спеціальними властивостями володіє лінійна система? Опишіть їх. Лінійність, комутативна – властивість, що означає, що при з’єднанні декількох лінійних систем у каскад – каскадна система теж буде лінійною, з чого також випливає, що порядок у каскаді може бути змінений без змін на виході. Рис. 10. Рис. 10 Визначення лінійної комутативної властивості. Система з багатоканальним входами і виходами буде лінійною, якщо вона скомпонована з інших лінійних підсистем і додавання сигналів(рис.11). Рис. 11 Система з багатоканальними виходами і входами. Множення у лінійних системах може бути лінійним або нелінійним. Лінійне – множення на константу, нелінійне – перемноження сигналів. Рис.12. Рис.12 Лінійне (а) та нелінійне (б) множення. 4. Що таке розкладання і синтез сигналів? Розкладання – це розбивання сигналу на дві та більше складових. Кількість ітерацій необмежена. Рис. 13. Синтез – це об’єднання певної кількості сигналів в один. Рис. 13. Рис. 13 Синтез і розкладання сигналів. 5. Як здійснюється імпульсне розкладання сигналів? Імпульсне розкладання розбиває сигнал з N відліків на N компонентних сигналів, кожен з яких містить по N відліків. Кожен компонентний сигнал містить одну точку з початкового сигналу, з іншими нульовими значеннями. Цю точку називають імпульсом. Рис. 14 а. 6. Як здійснюється сходинкове розкладання сигналів? Сходинкове розкладання розбиває сигнал з N відліків на N компонентних сигналів, кожен з яких містить по N відліків. Кожен компонентний сигнал є сходинкою, тобто, перші сигнали мають нульове значення, а остан ні дорівнюють якійсь постійній величині. Рис. 14 б. Рис. 14 а) імпульсне розкладання; б) сходинкове розкладання. 7. Як здійснюється розкладання сигналів з чередуванням? Розкладання з чередуванням розбиває сигнал на два роздільних сигнали (сигнал парних і сигнал непарних відліків). Сигнал парних відліків – це сигнал в якому усі непарні відліки дорівнюють нулю. Сигнал непарних відліків – навпаки. Розкладання з чередуванням є основою швидкого перетворення Фур’є. Рис. 15 б. 8. Як здійснюється парне/непарне розкладання сигналів? Парне/непарне розкладання розбиває сигнал на сигнал з парною симетрією і сигнал з непарною симетрією. Сигнал з парною симетрією, це сигнал з N відліків, зображення якого симетричне відносно точки N /2. Сигнал з непарною симетрією, це сигнал з N відліків, коли відповідні точки мають однакові амплітуди, але протилежні знаки. Рис. 15 а. Розкладання обчислюється з співвідношень: { ??[?] = ?[?] + ?[? − ?] 2 ??[?] = ?[?] − ?[? − ?] 2 Рис. 15 а) парне/непарне розкладання; б) розкладання з чередуванням. 9. Описати процес розкладання Фур’є? Сигнал з N точок розкладається на N+2 сигнали, одна половина з яких – синусоїди, а інша – косинусоїди. Найнижча частота робить нуль циклів при підрахунках, наступні частоти – 1, 2, 3 відповідно. При розкладанні змінюється тільки амплітуда, оскільки частота скрізь фіксована. Рис. 16. Рис. 16 Розкладання в ряд Фур’є. 10. В яких випадках нелінійну систему можна вважати лінійною? Всього є три випадки: - Якщо нелінійність мала (її можна апроксимувати як лінійну, похибка, зазвичай, не більша від шуму); - Якщо можна тримати сигнали дуже малими (при невеликій амплітуді більшість сигналів поводяться лінійно); - Якщо проведено лінеаризуючі перетворення (наприклад, за допомогою логарифмування, як лінійне складання, цей процес називають «гомоморфна обробка сигналів).