МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА» ІКТА Курсова робота з курсу «Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів і систем» «Застосування методiв Рунге-Кутта-Мерсона та Рунге – Кутта четвертого порядку для розв’язування системи диференціальних рівнянь» Тема 1, варіант 11 Зміст 1. Постановка задачі 2. Теоретичні відомості 2.1 Метод Рунге-Кутта-Мерсона 2.2 Метод Рунге – Кутта четвертого порядку 3. Лістинг програми 3.1 Метод Рунге-Кутта-Мерсона 3.2 Метод Рунге – Кутта четвертого порядку 4. Результати виконання програм 4.1 Метод Рунге-Кутта-Мерсона 4.2 Метод Рунге – Кутта четвертого порядку 5. Графік зміни величини y1(t) 5.1 Метод Рунге-Кутта-Мерсона 5.2 Метод Рунге – Кутта четвертого порядку Висновки Список літератури 1. Постановка задачі При початкових параметрах Система рівнянь у нормальній формі: ; ; Початкові умови: y1(0)=0 y2(0)=0 y3(0)=0 1. Коефіцієнт вибирається самостійно. 2. Навести таблицю значень Побудувати графік зміни величини 2.Теоретичні відомості 2.1 Метод Рунге-Кутта-Мерсона Метод дозволяє оцінити похибку на кожному кроці інтегрування. При цьому не потрібно зберігати в пам’яті обчислення значень функцій на кроці і для оцінки похибки. Алгоритм методу 1. Задаємо число рівнянь , похибку , початковий крок інтегрування , початкові умови . 2. За допомогою п’яти циклів з керуючою змінною обчислюємо коефіцієнти 3. Знаходимо значення та похибку 4. Перевіряємо виконання умов Можливі випадки: а) Якщо перша умова не виконується, тобто , то ділимо крок на 2 та повторюємо обчислення з п.2, встановивши початкові значення . б) Якщо виконується перша та друга умови, значення та виводяться на друк. Якщо друга умова не виконується, крок збільшується вдвічі і тоді обчислення знову повторюється з п.2. Треба відмітити, що похибка на кожному кроці методу Рунге-Кутта-Мерсона оцінюється приблизно. При розв’язуванні нелінійних ДР істинна похибка може відрізнятися в декілька разів від заданої . , де . - крок поділити на 2 і повернутися на початок. для всіх рівнянь: виводимо на друк , а крок збільшуємо удвічі. 2.2 Метод Рунге – Кутта четвертого порядку В методі Рунге-Кутта значення функції, визначається за формулою Якщо розкласти функцію в ряд Тейлора і обмежитись членами до включно, то приріст можна записати у вигляді (10) Замість того, щоб обчислювати члени ряду за формулою (10) в методі Рунге-Кутта використовують наступні формули. Похибка на кожному кроці має порядок . Таким чином метод Рунге-Кутта забезпечує значно вищу точність ніж метод Ейлера, однак вимагає більшого об’єму обчислень. Деколи зустрічається інша форма представлення методу Рунге-Кутта 4-го порядку точності. 3.Лістинг програми 3.1 Метод Рунге-Кутта-Мерсона using System; using System.IO; namespace kursovaya { class Program { double Kr = 500, Qm = 5, Us = 0.6, Cu = 8 * Math.Pow(10, -5), Cw = 2 * Math.Pow(10, -5), K = 0.4, T = 0.04, i = 25, I = 0.02 * Math.Pow(10, -5) + (6 * Math.Pow(10, -5) / Math.Pow(25, 2)), h = 0.0001, a = 0, b = 1; int k; double[,] y = new double[3, 10000000]; double[] t = new double[10000000]; double[] m = new double[5]; double[] l = new double[5]; double[] n = new double[5]; double Y1(double y3) { return y3 / i; } double Y2(double y1, double y2, double y3) { return ((Us * (1 - y1)) / (Qm * T)) - (y2 / (K * T)) - ((Us * y3) / (Qm * i)); } double Y3(double y2, double y3) { return ((Cu * Kr * y2) - (Cw * y3)) / I; } public Program() { t[0] = a; } void Kof(double y1, double y2, double y3, double h) { m[0] = Y1(y3) * h; n[0] = Y2(y1, y2, y3) * h; l[0] = Y3(y2, y3) * h; m[1] = Y1(y3 + l[0] / 2.0) * h; n[1] = Y2(y1 + m[0] / 2.0, y2 + n[0] / 2.0, y3 + l[0] / 2.0) * h; l[1] = Y3(y2 + n[0] / 2.0, y3 + l[0] / 2.0) * h; m[2] = Y1(y3 + l[1] / 2.0) * h; n[2] = Y2(y1 + m[1] / 2.0, y2 + n[1] / 2.0, y3 + l[1] / 2.0) * h; l[2] = Y3(y2 + n[1] / 2.0, y3 + l[1]) * h; m[3] = Y1(y3 + l[2]) * h; n[3] = Y2(y1 + m[2], y2 + n[2], y3 + l[2]) * h; l[3] = Y3(y2 + n[2], y3 + l[2]) * h; } void Zmin() { y[0, k + 1] = y[0, k] + (m[0] + 4 * m[2] + m[3]) / 6.0; y[1, k + 1] = y[1, k] + (n[0] + 4 * n[2] + n[3]) / 6.0; y[2, k + 1] = y[2, k] + (l[0] + 4 * l[2] + l[3]) / 6.0; } void Zminna(double y1, double y2, double y3, double h) { Kof(y1, y2, y3, h); Zmin(); } void vuv() { Console.WriteLine("t t-y1(t)"); for (int j = 0; j < k; j += 40) { Console.WriteLine("{0} {1}", t[j], t[j] - y[0, j]); } } public void start() { k = 0; do { Zminna(y[0, k], y[1, k], y[2, k], h); t[k + 1] = t[k] + h; k++; } while (t[k] < b); vuv(); vuvid(); Console.ReadKey(); } void vuvid() { int j; Random rand = new Random(); StreamWriter log_out; log_out = new StreamWriter("logfile.txt"); Console.SetOut(log_out); Console.WriteLine("y1(t)"); for (j = 0; j < k; j += rand.Next(1, 135)) { Console.WriteLine(y[0, j]); } log_out.Close(); } } class main { static void Main() { Program program = new Program(); program.start(); } } } 3.2 Метод Рунге – Кутта четвертого порядку using System; using System.IO; namespace kursovaya { class Program { double Kr = 500, Qm = 5, Us = 0.06, Cu = 9 * Math.Pow(10, -5), Cw = 3 * Math.Pow(10, -5), K = 0.2, T = 0.05, i = 30, I = 0.03 * Math.Pow(10, -5) + (6 * Math.Pow(10, -5) / Math.Pow(30, 2)), h = 0.0001, a = 0, b = 1; int k; double[,] y = new double[3, 10000000]; double[] t = new double[10000000]; double[] m = new double[5]; double[] l = new double[5]; double[] n = new double[5]; double Y1(double y3) { return y3 / i; } double Y2(double y1, double y2, double y3) { return ((Us * (1 - y1)) / (Qm * T)) - (y2 / (K * T)) - ((Us * y3) / (Qm * i)); } double Y3(double y2, double y3) { return ((Cu * Kr * y2) - (Cw * y3)) / I; } public Program() { t[0] = a; } void Kof(double y1, double y2, double y3, double h) { m[0] = Y1(y3) * h; n[0] = Y2(y1, y2, y3) * h; l[0] = Y3(y2, y3) * h; m[1] = Y1(y3 + l[0] / 2.0) * h; n[1] = Y2(y1 + m[0] / 2.0, y2 + n[0] / 2.0, y3 + l[0] / 2.0) * h; l[1] = Y3(y2 + n[0] / 2.0, y3 + l[0] / 2.0) * h; m[2] = Y1(y3 + l[1] / 2.0) * h; n[2] = Y2(y1 + m[1] / 2.0, y2 + n[1] / 2.0, y3 + l[1] / 2.0) * h; l[2] = Y3(y2 + n[1] / 2.0, y3 + l[1]) * h; m[3] = Y1(y3 + l[2]) * h; n[3] = Y2(y1 + m[2], y2 + n[2], y3 + l[2]) * h; l[3] = Y3(y2 + n[2], y3 + l[0]) * h; } void Zmin() { y[0, k + 1] = y[0, k] + (m[0] + 2 * m[1] + 2 * m[2] + m[3]) / 6.0; y[1, k + 1] = y[1, k] + (n[0] + 2 * n[1] + 2 * n[2] + n[3]) / 6.0; y[2, k + 1] = y[2, k] + (l[0] + 2 * l[1] + 2 * l[2] + l[3]) / 6.0; } void Zminna(double y1, double y2, double y3, double h) { Kof(y1, y2, y3, h); Zmin(); } void vuv() { Console.WriteLine("t t-y1(t)"); for (int j = 0; j < k; j += 40) { Console.WriteLine("{0} {1}", t[j], t[j] - y[0, j]); } } public void start() { k = 0; do { Zminna(y[0, k], y[1, k], y[2, k], h); t[k + 1] = t[k] + h; k++; } while (t[k] < b); vuv(); vuvid(); Console.ReadKey(); } void vuvid() { int j; Random rand = new Random(); StreamWriter log_out; log_out = new StreamWriter("logfile.txt"); Console.SetOut(log_out); Console.WriteLine("y1(t)"); for (j = 0; j < k; j += rand.Next(1, 135)) { Console.WriteLine(y[0, j]); } log_out.Close(); } } class main { static void Main() { Program program = new Program(); program.start(); } } } 4.Результати виконання програми 4.1 Метод Рунге-Кутта-Мерсона Значення t t-y2(t) 0 0 0,004 0,00384822574777604 0,00800000000000001 0,00693008258464116 0,012 0,00880963517263042 0,016 0,00930133741389079 0,0199999999999999 0,00838078207332381 0,0239999999999999 0,00612198973276154 0,0279999999999999 0,0026541583954481 0,0319999999999999 -0,00186746700704529 0,036 -0,00728060380929667 0,0400000000000001 -0,013427788532196 0,0440000000000002 -0,0201632661473787 0,0480000000000003 -0,0273565029384988 0,0520000000000005 -0,0348934687245202 0,0560000000000006 -0,0426765024328046 0,0600000000000007 -0,0506233300770336 0,0640000000000008 -0,0586656251244265 0,0680000000000009 -0,0667473717484248 0,072000000000001 -0,0748231990091217 0,0760000000000012 -0,0828567889777319 0,0800000000000013 -0,0908194169194891 0,0840000000000014 -0,0986886513584677 0,0880000000000015 -0,106447222038393 0,0920000000000016 -0,114082051397676 0,0960000000000017 -0,121583437936093 0,100000000000002 -0,128944376118533 0,104000000000002 -0,136159996051842 0,108000000000002 -0,143227106240578 0,112000000000002 -0,150143823686217 0,116000000000002 -0,15690927703689 0,120000000000002 -0,163523370150138 0,124000000000003 -0,169986595124119 0,128000000000002 -0,176299885475384 0,132000000000002 -0,18246450163249 0,136000000000001 -0,188481942244666 0,140000000000001 -0,194353875964313 0,144 -0,200082089355258 0,148 -0,205668447416792 0,152 -0,211114863912096 0,155999999999999 -0,216423279265605 0,159999999999999 -0,221595644264247 0,163999999999998 -0,226633908178282 0,167999999999998 -0,231540010223294 0,171999999999997 -0,236315873528692 0,175999999999997 -0,240963400971071 0,179999999999996 -0,24548447238243 0,183999999999996 -0,249880942761785 0,187999999999996 -0,254154641210537 0,191999999999995 -0,258307370382837 0,195999999999995 -0,262340906296366 0,199999999999994 -0,266256998390166 0,203999999999994 -0,270057369747265 0,207999999999993 -0,273743717423114 0,211999999999993 -0,277317712838176 0,215999999999993 -0,280781002205708 0,219999999999992 -0,284135206975092 0,223999999999992 -0,287381924277715 0,227999999999991 -0,290522727367183 0,231999999999991 -0,29355916604895 0,23599999999999 -0,296492767096738 0,23999999999999 -0,299325034654636 0,243999999999989 -0,302057450624753 0,247999999999989 -0,304691475040925 0,251999999999989 -0,307228546429259 0,255999999999988 -0,309670082156547 0,259999999999988 -0,31201747876755 0,263999999999987 -0,314272112312176 0,267999999999987 -0,316435338663499 0,271999999999986 -0,318508493827471 0,275999999999986 -0,320492894245079 0,279999999999985 -0,322389837087617 0,283999999999985 -0,324200600545635 0,287999999999985 -0,325926444112052 0,291999999999984 -0,327568608859841 0,295999999999984 -0,329128317714642 0,299999999999983 -0,330606775722576 0,303999999999983 -0,332005170313528 0,307999999999982 -0,333324671560088 0,311999999999982 -0,334566432432328 0,315999999999982 -0,335731589048579 0,319999999999981 -0,336821260922308 0,323999999999981 -0,337836551205234 0,32799999999998 -0,338778546926757 0,33199999999998 -0,339648319229801 0,335999999999979 -0,340446923603141 0,339999999999979 -0,341175400110282 0,343999999999978 -0,34183477361496 0,347999999999978 -0,342426054003321 0,351999999999978 -0,342950236402836 0,355999999999977 -0,343408301397998 0,359999999999977 -0,34380121524287 0,363999999999976 -0,344129930070514 0,367999999999976 -0,34439538409935 0,371999999999975 -0,344598501836513 0,375999999999975 -0,344740194278223 0,379999999999974 -0,344821359107233 0,383999999999974 -0,34484288088739 0,387999999999974 -0,344805631255355 0,391999999999973 -0,344710469109515 0,395999999999973 -0,344558240796144 0,399999999999972 -0,344349780292837 0,403999999999972 -0,344085909389268 0,407999999999971 -0,343767437865301 0,411999999999971 -0,343395163666506 0,415999999999971 -0,342969873077105 0,41999999999997 -0,34249234089039 0,42399999999997 -0,341963330576659 0,427999999999969 -0,341383594448685 0,431999999999969 -0,34075387382478 0,435999999999968 -0,340074899189464 0,439999999999968 -0,339347390351798 0,443999999999967 -0,338572056601392 0,447999999999967 -0,337749596862143 0,451999999999967 -0,336880699843718 0,455999999999966 -0,335966044190829 0,459999999999966 -0,335006298630324 0,463999999999965 -0,334002122116127 0,467999999999965 -0,332954163972065 0,471999999999964 -0,331863064032602 0,475999999999964 -0,330729452781517 0,479999999999963 -0,329553951488563 0,483999999999963 -0,328337172344115 0,487999999999963 -0,327079718591864 0,491999999999962 -0,325782184659563 0,495999999999962 -0,324445156287867 0,499999999999961 -0,323069210657285 0,503999999999961 -0,321654916513283 0,50799999999996 -0,320202834289555 0,51199999999996 -0,318713516229491 0,515999999999959 -0,317187506505874 0,519999999999959 -0,315625341338826 0,523999999999959 -0,314027549112028 0,527999999999958 -0,312394650487244 0,531999999999958 -0,310727158517174 0,535999999999957 -0,309025578756649 0,539999999999957 -0,307290409372211 0,543999999999956 -0,305522141250083 0,547999999999956 -0,303721258102572 0,551999999999956 -0,301888236572902 0,555999999999955 -0,300023546338529 0,559999999999955 -0,298127650212938 0,563999999999954 -0,296201004245954 0,567999999999954 -0,294244057822592 0,571999999999953 -0,292257253760449 0,575999999999953 -0,290241028405691 0,579999999999952 -0,288195811727625 0,583999999999952 -0,286122027411888 0,587999999999952 -0,284020092952282 0,591999999999951 -0,281890419741264 0,595999999999951 -0,279733413159108 0,59999999999995 -0,27754947266177 0,60399999999995 -0,275338991867471 0,607999999999949 -0,273102358642004 0,611999999999949 -0,270839955182809 0,615999999999948 -0,268552158101805 0,619999999999948 -0,266239338507021 0,623999999999948 -0,263901862083033 0,627999999999947 -0,261540089170219 0,631999999999947 -0,259154374842863 0,635999999999946 -0,256745068986116 0,639999999999946 -0,254312516371829 0,643999999999945 -0,25185705673328 0,647999999999945 -0,249379024838809 0,651999999999945 -0,246878750564378 0,655999999999944 -0,24435655896507 0,659999999999944 -0,241812770345537 0,663999999999943 -0,23924770032943 0,667999999999943 -0,236661659927807 0,671999999999942 -0,23405495560654 0,675999999999942 -0,231427889352739 0,679999999999941 -0,228780758740209 0,683999999999941 -0,226113856993947 0,687999999999941 -0,223427473053692 0,69199999999994 -0,220721891636554 0,69599999999994 -0,217997393298725 0,699999999999939 -0,215254254496286 0,703999999999939 -0,212492747645127 0,707999999999938 -0,209713141179992 0,711999999999938 -0,20691569961266 0,715999999999937 -0,204100683589276 0,719999999999937 -0,201268349946844 0,723999999999937 -0,198418951768897 0,727999999999936 -0,195552738440346 0,731999999999936 -0,192669955701537 0,735999999999935 -0,189770845701513 0,739999999999935 -0,186855647050496 0,743999999999934 -0,183924594871604 0,747999999999934 -0,180977920851816 0,751999999999934 -0,178015853292184 0,755999999999933 -0,175038617157319 0,759999999999933 -0,172046434124148 0,763999999999932 -0,169039522629965 0,767999999999932 -0,166018097919768 0,771999999999931 -0,162982372092922 0,775999999999931 -0,159932554149121 0,77999999999993 -0,156868850033692 0,78399999999993 -0,153791462682234 0,78799999999993 -0,150700592064595 0,791999999999929 -0,147596435228223 0,795999999999929 -0,144479186340869 0,799999999999928 -0,141349036732676 0,803999999999928 -0,138206174937642 0,807999999999927 -0,135050786734489 0,811999999999927 -0,131883055186929 0,815999999999926 -0,128703160683339 0,819999999999926 -0,125511280975859 0,823999999999926 -0,122307591218921 0,827999999999925 -0,119092264007212 0,831999999999925 -0,115865469413081 0,835999999999924 -0,112627375023401 0,839999999999924 -0,109378145975894 0,843999999999923 -0,106117944994923 0,847999999999923 -0,102846932426761 0,851999999999922 -0,0995652662743449 0,855999999999922 -0,0962731022315209 0,859999999999922 -0,0929705937167915 0,863999999999921 -0,0896578919065671 0,867999999999921 -0,0863351457679321 0,87199999999992 -0,083002502090933 0,87599999999992 -0,0796601055203934 0,879999999999919 -0,0763080985872664 0,883999999999919 -0,0729466217395256 0,887999999999919 -0,0695758133726063 0,891999999999918 -0,0661958098594029 0,895999999999918 -0,0628067455798252 0,899999999999917 -0,0594087529499258 0,903999999999917 -0,0560019624505999 0,907999999999916 -0,0525865026558655 0,911999999999916 -0,049162500260731 0,915999999999915 -0,0457300801086561 0,919999999999915 -0,0422893652186106 0,923999999999915 -0,0388404768117373 0,927999999999914 -0,0353835343376274 0,931999999999914 -0,0319186555002079 0,935999999999913 -0,0284459562832556 0,939999999999913 -0,024965550975534 0,943999999999912 -0,0214775521955649 0,947999999999912 -0,0179820709160389 0,951999999999911 -0,0144792164878659 0,955999999999911 -0,0109690966638787 0,959999999999911 -0,00745181762218494 0,96399999999991 -0,00392748398918263 0,96799999999991 -0,000396198862236186 0,971999999999909 0,00314193616797787 0,975999999999909 0,0066868209954517 0,979999999999908 0,0102383569771485 0,983999999999908 0,0137964469116233 0,987999999999908 0,0173609950179543 0,991999999999907 0,0209319069149836 0,995999999999907 0,0245090896008607 0,999999999999906 0,0280924514328841 4.2 Метод Рунге – Кутта четвертого порядку Значення t t-y1(t) 0 0 0,004 0,00384809750139532 0,00800000000000001 0,0069290650700888 0,012 0,00880674112401967 0,016 0,0092956558809234 0,0199999999999999 0,00837162138357788 0,0239999999999999 0,00610892347263861 0,0279999999999999 0,0026370162287333 0,0319999999999999 -0,00188863652151394 0,036 -0,00730558140126177 0,0400000000000001 -0,0134562333146046 0,0440000000000002 -0,0201947601183461 0,0480000000000003 -0,027390588339519 0,0520000000000005 -0,0349296775262821 0,0560000000000006 -0,042714378276789 0,0600000000000007 -0,0506624435522757 0,0640000000000008 -0,0587055834871579 0,0680000000000009 -0,0667878242238613 0,072000000000001 -0,0748638387346455 0,0760000000000012 -0,0828973525111363 0,0800000000000013 -0,0908596820803469 0,0840000000000014 -0,0987284340164513 0,0880000000000015 -0,106486372321409 0,0920000000000016 -0,11412044967063 0,0960000000000017 -0,121620990799702 0,100000000000002 -0,1289810125962 0,104000000000002 -0,136195664069307 0,108000000000002 -0,143261769455399 0,112000000000002 -0,150177458689405 0,116000000000002 -0,156941870924779 0,120000000000002 -0,163554918448505 0,124000000000003 -0,170017100036746 0,128000000000002 -0,176329354424045 0,132000000000002 -0,182492946053441 0,136000000000001 -0,188509376607081 0,140000000000001 -0,194380316977959 0,144 -0,200107555337414 0,148 -0,2056929577916 0,152 -0,211138438818826 0,155999999999999 -0,216445939255589 0,159999999999999 -0,221617410069261 0,163999999999998 -0,226654800535948 0,167999999999998 -0,231560049747551 0,171999999999997 -0,236335080615536 0,175999999999997 -0,240981795731598 0,179999999999996 -0,245502074596814 0,183999999999996 -0,249897771849094 0,187999999999996 -0,254170716210393 0,191999999999995 -0,258322709945795 0,195999999999995 -0,262355528680596 0,199999999999994 -0,266270921462604 0,203999999999994 -0,270070610987832 0,207999999999993 -0,273756293930977 0,211999999999993 -0,277329641339281 0,215999999999993 -0,280792299061044 0,219999999999992 -0,284145888189284 0,223999999999992 -0,2873920055077 0,227999999999991 -0,290532223930765 0,231999999999991 -0,293568092933146 0,23599999999999 -0,296501138965835 0,23999999999999 -0,299332865857928 0,243999999999989 -0,302064755203961 0,247999999999989 -0,304698266737287 0,251999999999989 -0,307234838690321 0,255999999999988 -0,309675888142662 0,259999999999988 -0,312022811358115 0,263999999999987 -0,314276984111626 0,267999999999987 -0,316439762007085 0,271999999999986 -0,318512480786829 0,275999999999986 -0,320496456633626 0,279999999999985 -0,32239298646578 0,283999999999985 -0,324203348225928 0,287999999999985 -0,325928801164018 0,291999999999984 -0,327570586114866 0,295999999999984 -0,329129925770651 0,299999999999983 -0,330608024948624 0,303999999999983 -0,332006070854284 0,307999999999982 -0,333325233340226 0,311999999999982 -0,334566665160826 0,315999999999982 -0,335731502222926 0,319999999999981 -0,336820863832636 0,323999999999981 -0,337835852938361 0,32799999999998 -0,338777556370158 0,33199999999998 -0,3396470450755 0,335999999999979 -0,34044537435153 0,339999999999979 -0,34117358407387 0,343999999999978 -0,341832698922053 0,347999999999978 -0,342423728601628 0,351999999999978 -0,342947668063015 0,355999999999977 -0,343405497717136 0,359999999999977 -0,343798183647893 0,363999999999976 -0,344126677821538 0,367999999999976 -0,344391918292974 0,371999999999975 -0,344594829409044 0,375999999999975 -0,344736322008847 0,379999999999974 -0,344817293621125 0,383999999999974 -0,344838628658766 0,387999999999974 -0,344801198610471 0,391999999999973 -0,344705862229609 0,395999999999973 -0,344553465720323 0,399999999999972 -0,344344842920909 0,403999999999972 -0,344080815484524 0,407999999999971 -0,343762193057249 0,411999999999971 -0,343389773453544 0,415999999999971 -0,342964342829155 0,41999999999997 -0,342486675851479 0,42399999999997 -0,341957535867448 0,427999999999969 -0,34137767506896 0,431999999999969 -0,340747834655884 0,435999999999968 -0,340068744996699 0,439999999999968 -0,339341125786768 0,443999999999967 -0,338565686204313 0,447999999999967 -0,337743125064102 0,451999999999967 -0,336874130968894 0,455999999999966 -0,335959382458672 0,459999999999966 -0,33499954815769 0,463999999999965 -0,333995286919379 0,467999999999965 -0,332947247969129 0,471999999999964 -0,331856071044984 0,475999999999964 -0,330722386536291 0,479999999999963 -0,329546815620308 0,483999999999963 -0,328329970396825 0,487999999999963 -0,327072454020821 0,491999999999962 -0,325774860833172 0,495999999999962 -0,324437776489455 0,499999999999961 -0,323061778086872 0,503999999999961 -0,321647434289312 0,50799999999996 -0,320195305450596 0,51199999999996 -0,318705943735907 0,515999999999959 -0,317179893241461 0,519999999999959 -0,315617690112415 0,523999999999959 -0,314019862659062 0,527999999999958 -0,312386931471325 0,531999999999958 -0,310719409531573 0,535999999999957 -0,309017802325798 0,539999999999957 -0,307282607953159 0,543999999999956 -0,305514317233929 0,547999999999956 -0,303713413815862 0,551999999999956 -0,301880374279011 0,555999999999955 -0,300015668239008 0,559999999999955 -0,298119758448837 0,563999999999954 -0,296193100899122 0,567999999999954 -0,294236144916947 0,571999999999953 -0,29224933326323 0,575999999999953 -0,290233102228681 0,579999999999952 -0,28818788172835 0,583999999999952 -0,286114095394797 0,587999999999952 -0,284012160669901 0,591999999999951 -0,281882488895327 0,595999999999951 -0,279725485401668 0,59999999999995 -0,27754154959629 0,60399999999995 -0,275331075049886 0,607999999999949 -0,273094449581774 0,611999999999949 -0,270832055343939 0,615999999999948 -0,268544268903855 0,619999999999948 -0,266231461326093 0,623999999999948 -0,263893998252734 0,627999999999947 -0,261532239982613 0,631999999999947 -0,259146541549399 0,635999999999946 -0,256737252798539 0,639999999999946 -0,254304718463071 0,643999999999945 -0,251849278238341 0,647999999999945 -0,24937126685561 0,651999999999945 -0,246871014154607 0,655999999999944 -0,244348845155 0,659999999999944 -0,241805080126842 0,663999999999943 -0,239240034659972 0,667999999999943 -0,236654019732414 0,671999999999942 -0,234047341777764 0,675999999999942 -0,231420302751609 0,679999999999941 -0,228773200196955 0,683999999999941 -0,226106327308719 0,687999999999941 -0,223419972997261 0,69199999999994 -0,220714421951 0,69599999999994 -0,217989954698113 0,699999999999939 -0,215246847667323 0,703999999999939 -0,212485373247811 0,707999999999938 -0,209705799848246 0,711999999999938 -0,206908391954952 0,715999999999937 -0,204093410189229 0,719999999999937 -0,201261111363833 0,723999999999937 -0,198411748538629 0,727999999999936 -0,195545571075436 0,731999999999936 -0,192662824692068 0,735999999999935 -0,189763751515584 0,739999999999935 -0,18684859013476 0,743999999999934 -0,183917575651798 0,747999999999934 -0,180970939733271 0,751999999999934 -0,178008910660335 0,755999999999933 -0,1750317133782 0,759999999999933 -0,172039569544874 0,763999999999932 -0,169032697579207 0,767999999999932 -0,166011312708222 0,771999999999931 -0,162975627013758 0,775999999999931 -0,159925849478435 0,77999999999993 -0,156862186030939 0,78399999999993 -0,153784839590654 0,78799999999993 -0,150694010111637 0,791999999999929 -0,147589894625948 0,795999999999929 -0,144472687286356 0,799999999999928 -0,141342579408412 0,803999999999928 -0,138199759511909 0,807999999999927 -0,135044413361737 0,811999999999927 -0,131876724008147 0,815999999999926 -0,128696871826412 0,819999999999926 -0,125505034555925 0,823999999999926 -0,122301387338715 0,827999999999925 -0,119086102757402 0,831999999999925 -0,1158593508726 0,835999999999924 -0,112621299259772 0,839999999999924 -0,109372113045545 0,843999999999923 -0,106111954943497 0,847999999999923 -0,10284098528942 0,851999999999922 -0,0995593620760639 0,855999999999922 -0,0962672409873819 0,859999999999922 -0,0929647754322652 0,863999999999921 -0,0896521165777903 0,867999999999921 -0,0863294133819802 0,87199999999992 -0,0829968126260859 0,87599999999992 -0,0796544589463949 0,879999999999919 -0,0763024948655776 0,883999999999919 -0,0729410608235744 0,887999999999919 -0,0695702952080304 0,891999999999918 -0,066190334384287 0,895999999999918 -0,0628013127249337 0,899999999999917 -0,0594033626389296 0,903999999999917 -0,0559966146002988 0,907999999999916 -0,052581197176405 0,911999999999916 -0,0491572370558151 0,915999999999915 -0,0457248590757544 0,919999999999915 -0,0422841862491614 0,923999999999915 -0,0388353397913455 0,927999999999914 -0,0353784391462578 0,931999999999914 -0,0319136020123754 0,935999999999913 -0,0284409443682091 0,939999999999913 -0,0249605804974381 0,943999999999912 -0,0214726230136756 0,947999999999912 -0,0179771828848759 0,951999999999911 -0,0144743694573828 0,955999999999911 -0,0109642904796257 0,959999999999911 -0,00744705212547081 0,96399999999991 -0,00392275901723038 0,96799999999991 -0,000391514248336833 0,971999999999909 0,0031465805943145 0,975999999999909 0,00669142540835188 0,979999999999908 0,0102429215542316 0,983999999999908 0,0138009718338638 0,987999999999908 0,0173654804695441 0,991999999999907 0,0209363530831999 0,995999999999907 0,0245134966759363 0,999999999999906 0,0280968196078809 5. Графіки зміни величини y1(t) 5.1 Метод Рунге-Кутта-Мерсона 5.2 Метод Рунге – Кутта четвертого порядку Висновки В даній роботі розглянуто застосування методiв Рунге-Кутта-Мерсона та Рунге – Кутта четвертого порядку для розв’язування системи диференціальних рівнянь .Розв’язок поставленої задачі представлений мовою С#. Графік побудований в середовищі Excel. Список літератури Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для инженеров и научных работников. – М.: Наука, 1974. – 830 с. Учебно-методическое пособие по курсу Вычислительная математика, 2007. Щуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ. – М.: Мир, 1982. – 235 с. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. – М.: Мир, 1998. –570 с. Коссак О., Тумашова О., Коссак О. Методи наближених обчислень: Навч.посібн. – Львів: Бак, 2003. – 168 с.