Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!
МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ.
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Не вказано
Кафедра:
Системи автоматизованого проектуваня
Інформація про роботу
Рік:
2008
Тип роботи:
Лабораторна робота
Предмет:
Чисельні методи в інформатиці
Група:
КН-3
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
Міністерство освіти і науки України
Національний університет «Львівська політехніка»
кафедра САПР
Лабораторна робота №2
з курсу "Чисельні методи в інформатиці"
на тему:
МЕТОДИ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ
Виконав: cт. гр. КН-3
Львів-2008
1. МЕТА РОБОТИ
Мета роботи - ознайомлення з методами наближення функцій та їх практичним застосуванням.
2. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА
2.1. Формулювання задачі наближення функцій
Вважають, що на множині дійсних чисел X визначено деяку дійсну функцію , якщо кожному числу x з цієї множини поставлено у відпо відність одне дійсне число y з множини Y. На практиці часто трапляються ви падки, коли знайти значення y для відповідних x досить важко. Крім того, часто аналітичний вираз функції взагалі невідомий, а відомі лише її значення у скінченній кількості точок. Ці значення можуть бути знайдені в результаті спостережень чи вимірювань в якому-небудь експерименті, або в результаті обчислень. Тому викликає потреба вихідну функцію на ближено замінити (апроксимувати) деякою іншою функцією , в певному розумінні близькою до і такою, що простіше обчислюється чи дослід жується.
Тоді при всіх значеннях аргументу з множини Х вважають Функцію , називають апроксимуючою. Близькість функцій і можна, зокрема, оцінювати в метричних просторах за допомогою відстані . По-різному вводячи відстань, дістають різні конкретні випадки задачі апроксимації.
Часто апроксимуючу функцію беруть у вигляді лінійної комбіна ції функцій деякого класу, які утворюють скінченну чи зчисленну множину , причому будь-яка скінченна система елементів лінійно незалеж на. Тобто беруть у вигляді:
, (1)
де – сталі коефіцієнти.
Як функції часто використовують многочлени.
Функцію в цьому випадку називають узагальненим многочленом. Надалі розглядатимемо наближення функцій узагальненими многочленами. У цьому випадку задачу апроксимації можна сформулювати так.
Задано функцію f(x). Потрібно знайти такий узагальнений многочлен , підібрати його коефіцієнти , щоб відхилення (в деякому розумінні) функції f(x) від на заданій множині Х було найменшим.
Нехай у точках з відрізку [а,в] відомі значен ня функції y=f(x):
.
Розглянемо один з випадків апроксимації, що називається інтерполя цією. Суть його полягає в тому, що коефіцієнти многочлена (1) добирають так, щоб у точках x(i=0,1,..,n) значення функцій і f(x) збіга лися, тобто:
(i=0,1,..,n). (2)
Точки x(i=0,1,..,n) називаються вузлами інтерполювання, а много член – інтерполяційним многочленом. Формулу y=, знайдену для обчислення значень функції y=f(x), називають інтерполяційною.
Задача інтерполювання матиме єдиний розв'язок, якщо при будь-якому розміщенні вузлів (серед яких немає таких, що збігаються ) визначник системи (2) не дорівнюватиме нулю. Системи функцій, які задовольняють таку умову, називають системами Чебишова. Очевидно, вимога лінійної неза лежності системи є необхідною умовою для того, щоб ця система функцій була системою Чебишова. При інтерполюванні узагальнений много член будують за деякою Чебишовською системою функцій.
На практиці систему часто беруть у вигляді послідовності не від'ємних степенів змінної x, тобто:
(i=0,1,..,n).
Тут узагальнені многочлени є звичайними алгебраїчними много членами.
.
Інтерполювання в цьому випадку називається поліноміальним, або параболічним.
2.2. Інтерполяційний многочлен Лагранжа
Нехай у точках x(i=0,1,..,n) , з відрізка [а,в] зада но значення функції y=f(x) : y=f(x). Треба побудувати такий поліном (степеня, не вищого за n), який у вузлах набуває тих самих значень, що й функція y=f(x), тобто:
(i=0,1,..,n). (3)
Щоб дістати інтерполяційний многочлен в явному вигляді, не обов'яз ково розв'язувати систему лінійних рівнянь, його можна побудувати безпо середньо так, щоб задовольнялась умова (3).
Многочлен шукається у вигляді лінійної комбінації деяких мно гочленів степеня n, причому коефіцієнтами цієї лінійної комбінації будуть задані значення функції y=f(x) у вузлах, тобто:
, (4)
де (i=0,1,..,n) – поки що невідомі многочлени степеня n. З умови (3) випливає, що многочлени мають задовольняти умову:
.
Тоді:
. (5)
Інтерполяційний многочлен, записаний у вигляді (5), називається інтерполяційним многочленом Лагранжа. Многочлени назива ються коефіцієнтами Лагранжа.
Величина:
, (6)
яка характеризує близькість полінома L(x) до функції f(x) у деякій точці x відрізка [а,в] називається залишковим членом інтерполяційної формули , який визначає величину похибки.
Оцінка для записується у вигляді:
, (7)
де .
Якщо вузли рівновіддалені, тобто i=1,2,..,n, то оцінка для залишкового члена набирає вигляду:
(8)
де .
Таким чином, для випадку рівновіддалених вузлів .
З оцінки (7) видно, що величина похибки многочлена Лагранжа зале жить від того, як вибрано вузли інтерполювання (вони визначають функцію . Оцінити при довільному розміщенні вузлів інтерполювання досить складно. Коли вузли рівновіддалені, то поблизу центрального вузла інтерполяційні екстремуми функції невеликі, поблизу крайніх вузлів дещо більші, а якщо x виходить за крайні вузли, то швидко зростає.
Знаходження значень y=f(x), якщо значення аргументу x лежить між крайніми вузлами, називають інтерполюванням, а якщо лежить поза крайні ми вузлами – то екстраполюванням. З попереднього випливає, що при екстраполяції далеко за крайні вузли похибка може бути досить великою.
Оскільки значення часто задаються наближено, то навіть і тоді, ко ли всі проміжні обчислення виконуються точно, результат дістаємо з похиб кою. Це неусувна похибка. Неусувна похибка формули Лагранжа не переви щує величини:
, (9)
де – максимальне значення абсолютних похибок величин
y=f(x) (i=0,1,2,...,n).
Остання похибка при (відповідно ) порів няно мала і дуже повільно зростає із збільшенням n.
У процесі обчислень виникає також похибка при заокругленні проміж них результатів. Практично цю похибку можна зробити значно меншою по рівняно із неусувною (похибкою обмеження), якщо проміжні обчислення про водити з більшою кількістю цифр, ніж це вимагається для табличних значень f(x). При оцінці похибки результату слід враховувати і похибку остаточного заокруглення. Повна похибка інтерполювання дорівнює сумі всіх перелічених вище похибок.
2.3. Скінченні різниці. Інтерполяційні многочлени Ньютона
Нехай – значення деякої функції y=f(x), що відповідають рівновіддаленим значенням аргументу
.
Величина називається скінченною різницею першого поряд ку функції f(x)в точці (з кроком h) і позначається або , тобто . Скінченна різниця друго го порядку в точці xi визначається рівностями:
.
Скінченна різниця n-го порядку функції y=f(x) в точці визначається рекурентною формулою:
,
де
Скінченні різниці зручно розміщувати у вигляді таблиці:
Така таблиця називається діагональною таблицею різниць. Всі різниці будемо записувати цілими числами в одиницях молодшого розряду значень функції у вузлах інтерполювання.
Можна записати формулу:
, (10)
де – біномні коефіцієнти. Остання формула виражає скінченні різниці через значення функції у вузлових точках.
Нехай для функції y=f(x) задано її значення для значень ар гументу, які утворюють арифметичну прогресію (i=0,1,...,n), де h – крок таблиці. Треба побудувати многочлен степінь якого був би не більшим за n, а значення його у вузлах інтерполювання збігалися б із значен ням функції y=f(x); тобто:
(i=0,1,2,...,n). (11)
Многочлен визначається у вигляді:
(12)
Коефіцієнти у (12) визначають так, щоб виконувались умо ви (11). Після деяких перетворень і застосування раніше введених означень скінченних різниць отримують співвідношення:
(13)
Формула (13) називається першою інтерполяційною формулою Ньютона. Доведено, що існує лише один інтерполяційний многочлен n-го степеня, значення якого у вузлах інтерполяції дорівнюють значен ням функції .
Тому інтерполяційний поліном (13) збігатиметься з інтерполяційним многочленом Лагранжа, побудованим для цього випадку. Ці многочлени тільки записані в різних формах.
Формулу Ньютона (13) можна подати в зручнішому для користування вигляді. Для цього вводять нову безрозмірну змінну t за формулою , або . Тоді формула (13) набирає вигляду:
(14)
Цей вигляд першої інтерполяційної формули Ньютона називають фор мулою Ньютона для інтерполювання вперед. Таку назву вона отримала то му, що в ній використовуються значення функції, дані у вузлах, які містяться вправо від (вперед, вниз по стовпчику).
Для інтерполювання в кінці таблиці користуються іншою формулою вигляду:
(15)
Це є друга інтерполяційна формула Ньютона для інтерполювання назад. У ній використовуються скінченні різниці, розміщені в діагональній таблиці різниць по діагоналі знизу вгору.
Оскільки інтерполяційні формули Лагранжа і Ньютона – різні форми запису інтерполяційного многочлена, то оцінки залишкових членів формул Ньютона будуть такими, як і для формули Лагранжа, побудованої за такими самими даними. Тому у повну похибку результату, знайденого за формулами Ньютона, крім похибки методу, входитиме неусувна похибка, а також похиб ка округлення.
Формулу Ньютона, як і формулу Лагранжа, можна використати і для екстраполювання, тобто для обчислення значення функції в точках, які ле жать за межами таблиці. Очевидно, що перша інтерполяційна формула Ньютона застосовується для інтерполювання вперед (t>0) і екстраполювання назад (t<0), а друга – для інтерполювання назад (t<0) та екстраполювання вперед (t>0).
ЛАБОРАТОРНЕ ЗАВДАННЯ
Для заданого варіанту обчислити значення функції в 5 різних точках для двох різних інтервалів по методу Лагранжа та Ньютона. Дослідити вплив степені полінома (n1=1,2,3 n2=5,6,7 n3=8,9,10) на точність одержаних результатів
11
ln(x2)
1)
● Вибираємо 1 відрізок: 0.2…0.8. Обчислення проводиться в точках: 0.1; 0.3; 0.5; 0.7; 0.9.
Початкові дані:
X( 1)= .20000 Y( 1)= -3.2189
X( 2)= .40000 Y( 2)= -1.8326
X( 3)= .60000 Y( 3)= -1.0217
У точці X= 0.10000 одержано L= -4.1278
Точне значне LT= -4.6052
У точці X= 0.30000 одержано L= -2.4538
Точне значне LT= -2.4079 δ=0.01906
У точці X= 0.50000 одержано L= -1.3552
Точне значне LT= -1.3863 δ=0.02244
У точці X= 0.70000 одержано L= -0.83195
Точне значне LT= -0.71335 δ=0.16626
У точці X= 0.90000 одержано L= -0.48406
Точне значне LT= -0.21072 δ=7.90995
Початкові дані:
X( 1)= .20000 Y( 1)= -3.2189
X( 2)= .25000 Y( 2)= -2.7726
X( 3)= .40000 Y( 3)= -1.8326
X( 4)= .55000 Y( 4)= -1.1957
X( 5)= .65000 Y( 5)= -.86157
X( 6)= .80000 Y( 6)= -.44629
У точці X= 0.10000 одержано L= -4.4746
Точне значне LT= -4.6052 δ=0.02836
У точці X= 0.30000 одержано L= -2.4064
Точне значне LT= -2.4079 δ=0.00062
У точці X= 0.50000 одержано L= -1.3871
Точне значне LT= -1.3863 δ=0.26730
У точці X= 0.70000 одержано L= -0.71509
Точне значне LT= -0.71335 δ=0.00244
У точці X= 0.90000 одержано L= -.15624
Точне значне LT= -0.21072 δ=0.632
Початкові дані:
X( 1)= .20000 Y( 1)= -3.2189
X( 2)= .25000 Y( 2)= -2.7726
X( 3)= .35000 Y( 3)= -2.0996
X( 4)= .40000 Y( 4)= -1.8326
X( 5)= .45000 Y( 5)= -1.5970
X( 6)= .55000 Y( 6)= -1.1957
X( 7)= .60000 Y( 7)= -1.0217
X( 8)= .65000 Y( 8)= -.86157
X( 9)= .80000 Y( 9)= -.44629
У точці X= 0.10000 одержано L= -4.5605
Точне значне LT= -4.6052 δ=0.00971
У точці X= 0.30000 одержано L= -2.4079
Точне значне LT= -2.4079 δ=0.00000
У точці X= 0.50000 одержано L= -1.3863
Точне значне LT= -1.3863 δ=0.00000
У точці X= 0.70000 одержано L= -0.71324
Точне значне LT= -0.71335 δ=0.00015
У точці X= 0.90000 одержано L= -0.23958
Точне значне LT= -0.21072 δ=0.13696 Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.10000 :
Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.30000 :
Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.50000 :
Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.70000 :
Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.90000 :
● Вибираємо 2 відрізок: 9.5..10.1. Обчислення проводиться в точках: 9.4; 9.6; 9.8; 10.0; 10.2.
Початкові дані:
X( 1)= 9.5000 Y( 1)= 4.5026
X( 2)= 9.7500 Y( 2)= 4.5545
X( 3)= 10.100 Y( 3)= 4.6251
У точці X= 9.4000 одержано L= 4.4814
Точне значне LT= 4.4814 δ=0
У точці X= 9.6000 одержано L= 4.5235
Точне значне LT= 4.5235 δ=0
У точці X= 9.8000 одержано L= 4.5648
Точне значне LT= 4.5648 δ=0
У точці X= 10.000 одержано L= 4.6052
Точне значне LT= 4.6052 δ=0
У точці X= 10.2000 одержано L= 4.6448
Точне значне LT= 4.6448 δ=0
Початкові дані:
X( 1)= 9.5000 Y( 1)= 4.5026
X( 2)= 9.6500 Y( 2)= 4.5339
X( 3)= 9.7500 Y( 3)= 4.5545
X( 4)= 9.8500 Y( 4)= 4.5749
X( 5)= 9.9500 Y( 5)= 4.5951
X( 6)= 10.100 Y( 6)= 4.6251
У точці X= 9.4000 одержано L= 4.4814
Точне значне LT= 4.4814 δ=0
У точці X= 9.6000 одержано L= 4.5235
Точне значне LT= 4.5235 δ=0
У точці X= 9.8000 одержано L= 4.5648
Точне значне LT= 4.5648 δ=0
У точці X= 10.000 одержано L= 4.6052
Точне значне LT= 4.6052 δ=0
У точці X= 10.2000 одержано L= 4.6448
Точне значне LT= 4.6448 δ=0
Початкові дані:
X( 1)= 9.5000 Y( 1)= 4.5026
X( 2)= 9.5500 Y( 2)= 4.5131
X( 3)= 9.6500 Y( 3)= 4.5339
X( 4)= 9.7000 Y( 4)= 4.5443
X( 5)= 9.7500 Y( 5)= 4.5545
X( 6)= 9.8500 Y( 6)= 4.5749
X( 7)= 9.9500 Y( 7)= 4.5951
X( 8)= 10.050 Y( 8)= 4.6151
X( 9)= 10.100 Y( 9)= 4.6251
У точці X= 9.4000 одержано L= 4.4814
Точне значне LT= 4.4814 δ=0
У точці X= 9.6000 одержано L= 4.5235
Точне значне LT= 4.5235 δ=0
У точці X= 9.8000 одержано L= 4.5648
Точне значне LT= 4.5648 δ=0
У точці X= 10.000 одержано L= 4.6052
Точне значне LT= 4.6052 δ=0
У точці X= 10.2000 одержано L= 4.6448
Точне значне LT= 4.6448 δ=0
2)
Вибираємо 1 відрізок: 0.2…0.8. Обчислення проводиться в точках: 0.1; 0.3; 0.5; 0.7; 0.9.
Початкові дані:
X( 1)= .20000 Y( 1)= -3.2189
X( 2)= .48000 Y( 2)= -1.4679
X( 3)= .76000 Y( 3)= -.54887
( H= .28000 )
У ТОЧЦІ X= .10000 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -4.0458
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -4.0458
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -4.6052 δ=0.12147
У ТОЧЦІ X= .30000 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -2.4980
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -2.4980
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -2.4079 δ=0.03741
У ТОЧЦІ X= .50000 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -1.3747
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -1.3747
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -1.3863 δ=0.00836
У ТОЧЦІ X= .70000 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -.67579
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -.67579
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -.71335 δ=0.05265
У ТОЧЦІ X= .90000 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -.40129
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -.40129
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -.21072 δ=0.90437
Початкові дані:
X( 1)= .20000 Y( 1)= -3.2189
X( 2)= .32000 Y( 2)= -2.2789
X( 3)= .44000 Y( 3)= -1.6420
X( 4)= .56000 Y( 4)= -1.1596
X( 5)= .68000 Y( 5)= -.77132
X( 6)= .80000 Y( 6)= -.44629
( H= .12000 )
У ТОЧЦІ X= .10000 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -4.4405
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -4.4405
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -4.6052 δ=0.03576
У ТОЧЦІ X= .30000 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -2.4087
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -2.4087
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -2.4079 δ=0.00033
У ТОЧЦІ X= .50000 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -1.3866
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -1.3866
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -1.3863 δ=0.00022
У ТОЧЦІ X= .70000 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -.71369
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -.71369
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -.71335 δ=0.00048
У ТОЧЦІ X= .90000 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -.18337
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -.18337
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -.21072 δ=0.12979
Початкові дані:
X( 1)= .20000 Y( 1)= -3.2189
X( 2)= .27000 Y( 2)= -2.6187
X( 3)= .34000 Y( 3)= -2.1576
X( 4)= .41000 Y( 4)= -1.7832
X( 5)= .48000 Y( 5)= -1.4679
X( 6)= .55000 Y( 6)= -1.1957
X( 7)= .62000 Y( 7)= -.95607
X( 8)= .69000 Y( 8)= -.74213
X( 9)= .76000 Y( 9)= -.54887
( H= .70000E-01)
У ТОЧЦІ X= .10000 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -4.5563
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -4.5563
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -4.6052 δ=0.01061
У ТОЧЦІ X= .30000 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -2.4079
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -2.4079
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -2.4079 δ=0
У ТОЧЦІ X= .50000 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -1.3863
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -1.3863
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -1.3863 δ=0
У ТОЧЦІ X= .70000 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -.71334
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -.71334
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -.71335 δ=0.00001
У ТОЧЦІ X= .90000 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= -.23522
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= -.23522
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= -.21072 δ=0.12103
Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.10000 :
Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.30000 :
Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.50000 :
Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.70000 :
Графік значень δ при n=3,6,9 y точці X= 0.1000 :
● Вибираємо 2 відрізок: 9.5..10.1. Обчислення проводиться в точках: 9.4; 9.6; 9.8; 10.0; 10.2.
ПОЧАТКОВІ ДАНІ :
X( 1)= 9.5000 Y( 1)= 4.5026
X( 2)= 9.7900 Y( 2)= 4.5627
X( 3)= 10.080 Y( 3)= 4.6211
( H= .29000 )
У ТОЧЦІ X= 9.4000 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.4814
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.4814
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.4814
У ТОЧЦІ X= 9.6000 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.5235
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.5235
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.5235
У ТОЧЦІ X= 9.8000 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.5648
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.5648
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.5648
У ТОЧЦІ X= 10.000 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.6052
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.6052
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.6052
У ТОЧЦІ X= 10.200 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.6448
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.6448
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.6448
ПОЧАТКОВІ ДАНІ :
X( 1)= 9.5000 Y( 1)= 4.5026
X( 2)= 9.6200 Y( 2)= 4.5277
X( 3)= 9.7400 Y( 3)= 4.5525
X( 4)= 9.8600 Y( 4)= 4.5770
X( 5)= 9.9800 Y( 5)= 4.6012
X( 6)= 10.100 Y( 6)= 4.6251
( H= .12000 )
У ТОЧЦІ X= 9.4000 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.4814
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.4814
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.4814
У ТОЧЦІ X= 9.6000 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.5235
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.5235
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.5235
У ТОЧЦІ X= 9.8000 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.5648
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.5648
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.5648
У ТОЧЦІ X= 10.000 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.6052
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.6052
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.6052
У ТОЧЦІ X= 10.200 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.6448
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.6448
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.6448
ПОЧАТКОВІ ДАНІ :
X( 1)= 9.5000 Y( 1)= 4.5026
X( 2)= 9.5700 Y( 2)= 4.5173
X( 3)= 9.6400 Y( 3)= 4.5318
X( 4)= 9.7100 Y( 4)= 4.5463
X( 5)= 9.7800 Y( 5)= 4.5607
X( 6)= 9.8500 Y( 6)= 4.5749
X( 7)= 9.9200 Y( 7)= 4.5891
X( 8)= 9.9900 Y( 8)= 4.6032
X( 9)= 10.060 Y( 9)= 4.6171
( H= .70000E-01)
У ТОЧЦІ X= 9.4000 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.4814
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.4814
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.4814
У ТОЧЦІ X= 9.6000 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.5235
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.5235
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.5235
У ТОЧЦІ X= 9.8000 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.5648
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.5648
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.5648
У ТОЧЦІ X= 10.000 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.6052
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.6052
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.6052
У ТОЧЦІ X= 10.200 ОДЕРЖАНО:
ПО 1-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N1= 4.6446
ПО 2-Й ІНТЕРПОЛЯЦІЙНІЙ ФОРМУЛІ НЬЮТОНА: N2= 4.6446
ТОЧНЕ ЗНАЧЕННЯ NT= 4.6448
Висновок
Під час виконання лабораторної роботи було ознайомлено з методами наближення функцій та їх практичним застосуванням. Було обчислено значення ф-ції в 5 різних точках по методу Лагранжа і Ньютона і знайдено відносні похибки отриманих результатів. З результатів розрахунків та графіків можна зробити висновок, що збільшення кількості вузлів приводить до зменшення похибок обчислень.
Ділись своїми роботами та отримуй миттєві бонуси!
0%
Оголошення від адміністратора