МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА” Кафедра САПР
ЗВІТ до лабораторної роботи № 2 «Розв’язування звичайних диференціальних рівнянь в системі MATHCAD» з дисципліни: «Математичне моделювання в САПР» ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ Багато фізичних систем та явищ описуються рівняннями, в які входять не тільки невідома функція, а й деякі похідні від цієї функції. Як відомо [4], такі рівняння називаються диференціальними. У випадку коли шукана функція заданого диференціального рівняння залежить лише від однієї незалежної змінної(аргумента), то таке рівняння називається звичайним диференціальним рівнянням. Порядком звичайного диференціального рівняння називається найвищий порядок похідної, що входить у це рівняння. У найпростішому випадку розглядаються диференціальні рівняння першого порядку, тобто рівняння, які не містять похідних невідомої функції від незалежної зміної вище першого порядку. У загальному випадку такі рівняння можна записати у вигляді
(1) де
- невідома функція від незалежної змінної
,
- деяка задана функція. Розв’язком заданого диференціального рівняння називається деяка функція, яка задовільняє це рівняння у кожній точці області визначення рівняння. Як відомо з курсу диференціальних рівняннь [1], будь-яке звичайне диференціальне рівняння має нескінченну множину розв’язків, або, як прийнято казати, розв’язок звичайного диференціального рівняння визначається з точністю до константи. Така ситуація є не прийнятною з практичної точки зору, оскільки в конкретній фізичній задачі дослідника цікавить лише один розв’язок. Для виокремлення цього розв’язку з нескінченної множини розв’язків на нього накладаються деякі додаткові умови. Прийнято розрізняти два типи додаткових умов: початкові умови та граничні умови. У будь-якому випадку ці умови дозволяють отримати єдиний розв’язок, який повинен задовільняти як саме диференціальне рівняння, так і ці додаткові умови. Початкові умови задаються у випадку коли незалежна змінна розглядається як час, а процес, який описується заданим рівнянням носить нестаціонарний характер. Тоді для адекватного математичного опису такого процесу не достатньо мати саме рівняння, потрібно задати стан процесу в деякий початковий момент часу. Оскільки стан процесу в довільний момент часу характеризується невідомою функцією
, то задання початкового стану даного процесу, тобто початкової умови, полягає в заданні значення функції
в початковий момент часу
. Сама задача знаходження розв’язку заданого звичайного диференціального рівняння, який задовільняє заданій початковій умові називається задачею Коші. Для прикладу, сформулюємо строго математично задачу Коші для звичайного диференціального рівняння першого порядку: знайти функцію
, яка задовільняє рівняння (1) та початковій умові
. (2) Якщо диференціальне рівняння має порядок вище першого, то необхідно задавати початкове значення не тільки самій функції, а й її похідним. Загальне правило можна сформулювати наступним чином: якщо у звичайне диференціальне рівняння входить похідна шуканої функції
-го порядку, то початкових умов має бути
і задаються вони на саму функцію та її похідні до
порядку включно. Граничні умови задаються тоді, коли незалежна змінна трактується як просторова координата. Очевидно, що у випадку звичайного диференціального рівняння це означає, що розглядається одновимірна задача, в якій область визначення представляє собою відрізок, а границя цієї області визначення складається з двох точок. Тоді на кожному кінці відрізку потрібно задати граничну умову. Кількість граничних умов, які необхідно задати залежить від порядку диференціального рівняння. У загальному випадку, якщо порядок рівняння
, то у кожній точці границі області визначення задачі потрібно задати
граничних умов. Сама задача знаходження розв’язку заданого звичайного диференціального рівняння, який задовільняє заданим граничним умовам називається крайовою задачею. ІНДИВ...