МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”
Кафедра САП
Розв’язування диференціальних рівнянь з частинними похідними в системі MATHCAD
Методичні матеріали
до лабораторної роботи № 3 з курсу:
“Математичне моделювання в САПР”
для студентів базового напрямку
6.0804 “Комп’ютерні науки”
ЗАТВЕРДЖЕНО
на засіданні кафедри
“Системи автоматизованого проектування”
Протокол №
від
ЛЬВІВ 2008
Розв’язування диференціальних рівнянь з частинними похідними в системі MATHCAD. Методичні матеріали до лабораторної роботи № 3 з курсу: “Математичне моде лю вання в САПР” для студентів базового напрямку 6.0804 “Комп’ю тер ні науки”.
Укладачі:
Макар В.М., доцент, к.т.н.
Юрчак І.Ю., доцент, к.т.н.
Відповідальний за випуск:
Лобур М.В., проф., д.т.н., завідувач кафедри САП
Рецензенти:
1. МЕТА РОБОТИ
Ознайомитися з основними функціями системи MATHCAD для дослідження математичних моделей у формі крайових задач для дифе рен ціальних рівнянь з частинними похідними.
2.ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
2.1. ПОНЯТТЯ ПРО КРАЙОВІ ЗАДАЧІ, ПОЧАТКОВІ ТА ГРАНИЧНІ УМОВИ.
Більшість фізичних та науково-технічних задач зводиться до знаходження розв’язків диференціальних рівнянь з частинними по хід ни ми. Важливий клас диференціальних рівнянь з частинними похідними складають лінійні рівняння другого порядку з незалежними змінними, які у загальному випадку можна записати наступним чином:
. (1)
Найбільш поширеними частковими випадками рівняння (1) є: рівняння коливань, рівняння дифузії та стаціонарні рівняння.
Рівняння коливань має вигляд:
, (2)
де невідома функція залежить від просторових координат і часу , коефіцієнти визначаються властивостями середовища, в якому відбувається коли валь ний процес, функція виражає інтенсивність зовнішніх впливів, , . Рівняння (2) описує такі фізичні процеси як коливання струни, мембрани, тривимірних тіл, електромагнітні коливання і т.д. З рівняння (2), як частковий випадок, можна отримати класичне хвильове рівняння:
, (3)
яке описує процеси поширення звуку та електромагнітних хвиль в од но рід ному середовищі. У двовимірному випадку хвильове рівняння (3) опи сує малі поперечні коливання мембрани, а в одновимірному - такі фі зичні процеси, як поперечні коливання струни та повздовжні ко ли вання пружного стержня. Ввівши оператор Лапласа
хвильове рівняння (3) можна записати так
. (4)
Рівняння дифузії
(5)
описує процеси поширення тепла або дифузії частинок у деякому се ре довищі, яке харак те ри зуєть ся функціями . Як частковий випадок, з рівняння (5) можна отримати класичне рівняння тепло про відності
, (6)
де - питома теплоємність, -густина, - коефіцієнт теплопровідності се ре до вища, в якому відбувається процес поширення тепла, - ін тен сивність внутрішніх джерел тепла. Якщо середовище є ізотропним, тобто - константи, то з рівняння (6) отримаємо
, (7)
де називається коефіцієнтом температуропровідності, - густина джерел тепла. Якщо внутрішні джерела тепла відсутні, тобто , то з рівняння (7) отримаємо класичне рівняння Фур’є
. (8)
Стаціонарні рівняння описують усталені процеси, в яких вели чи ни, що характеризують їх не залежать від часу. Тоді рівняння коливань (2) та дифузії (5) будуть мати вигляд:
. (9)
При і рівняння (9) набуває вигляду
, (10)
і називається рівнянням Пуасона, а при отримуємо частковий випадок рівняння Пуасона, а саме рівняння Лапласа
. (11)
Для того, щоб повністю описати той чи інший фізичний процес не достатньо мати лише рівняння, яке описує цей процес. Необхідно задати та кож початковий стан процесу, який описується початковими умовами та режим процесу на границі області, в якій протікає цей процес, що опи сується граничними умовами. Математично це пов’язано з тим, що ди ферен ціальні рівняння мають безліч розв’язків. Дійсно, навіть для зви чайного диферен ціального рівняння -го порядку загальний розв’язок залежить від довільних сталих. Для рівнянь з частк...
