МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”
Кафедра САП
Розв’язування крайових задач методом скінченних різниць
Методичні матеріали
до лабораторної роботи № 4 з курсу:
“Математичне моделювання в САПР”
для студентів базового напрямку
6.0804 “Комп’ютерні науки”
ЗАТВЕРДЖЕНО
на засіданні кафедри
“Системи автоматизованого проектування”
Протокол №
від
ЛЬВІВ 2008
Розв’язування крайових задач методом скінченних різниць. Мето дич ні матеріали до лабораторної роботи № 4 з курсу: “Математичне моде лю вання в САПР” для студентів базового напрямку 6.0804 “Комп’ю тер ні науки”.
Укладачі:
Макар В.М., доцент, к.т.н.
Юрчак І.Ю., доцент, к.т.н.
Відповідальний за випуск:
Лобур М.В., проф., д.т.н., завідувач кафедри САП
Рецензенти:
1. МЕТА РОБОТИ
Ознайомитися з методом скінченних різниць, способами побудови скінченно-різницевих співвідношень та отримати практичні на вики зас то сування методу до розв’язання задачі Коші для зви чайних диферен ціаль них рівнянь та задачі Діріхле для рівняння Лапласа.
2. ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
2.1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ МЕТОДУ СКІНЧЕННИХ РІЗНИЦЬ
Розглянемо крайову задачу в області з границею , записану в операторній формі:
, (1)
де – заданий диференціальний оператор, включаючи граничні умови, – задана функція, – шуканий розв’язок. Виберемо в області скін чен ну множину точок , яка називається сіткою, а самі точки – вуз лами. Тоді розв’язання крайової задачі (1) методом скінченних різниць (методом сіток) полягає в знаходженні таблиці значень функції в заданих вузлах сітки . Саму таблицю значень прийнято називати сітковою функцією. Очевидно, що при згущенні сітки, тобто при , сіткова функція буде давати більшу кількість інформації про точний розв’язок крайової задачі (1), необ хідну для встановлення . Більш детальний розгляд питання про відновлення функції за заданою таблицею її значень відноситься до компетенції теорії інтерполяції. Нас зараз цікавить задача обчислення сіткової функції , яку будемо інтерп ретувати як точний розв’язок крайової задачі (1). Однак, на прак ти ці сіткову функцію отримати не можливо, тому шукають інші сіткові функції визначені на тій же сітці , і які “збігаються” до при . Сіткова функція знаходиться як розв’язок від по від ної різницевої задачі:
, (2)
де - є різницевим аналогом вихідного диференціального оператора , а – різницевий аналог правої частини . Різницева задача (2) представляє собою систему алгебраїчних рівнянь відносно функції , яку можна розглядати як вектор шуканих значень, розмірність якого співпадає з кількістю вузлів сітки . Рівняння (2) також часто на зи вають різницевою схемою задачі (1).
Існує декілька методів побудови різницевої схеми (2), найпрос ті шим і найбільш поширеним є метод розкладу в ряд Тейлора. Суть цього ме тоду полягає в заміні похідних, які входять в диференціальний опе ра тор задачі (1), на так звані скінченні різниці. Не зменшуючи загаль ності, розглянемо одновимірний випадок, тобто коли область – це відрізок і функція визначена на цьому проміжку. Розкладемо функцію в ряд Тейлора в околі точки :
(3)
Звідси будемо мати:
звідки випливає, що
(4)
Скінченно-різницеве співвідношення (4) для апроксимації першої похідної називається правою скінченною різницею (вперед). Аналогічно можна отримати ліву скінченну різницю (назад):
(5)
скориставшись розкладом:
(6)
Віднявши (6) від (3) отримаємо апроксимацію
(7)
центральною різницею . З співвідношень (3), (6), (7) видно, що права і ліва скінченні різниці мають перший порядок точності, а центральна різниця – другий порядок точності. Аналогічно можна отримати скінченно-різницеве співвідношення для апроксимації другої похідної. Додавши вирази (3) та (6), отримаємо:
(8)
де вираз в правій частині (8) називається центральною скінченною різ ни цею другого порядку. Аналогічно можна побудувати скінченну різ ницю другого порядку впе...
