МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ
НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”
Кафедра САП
Розв’язування одновимірних крайових задач методом скінченних елементів
Методичні матеріали
до лабораторної роботи № 5 з курсу:
“Математичне моделювання в САПР”
для студентів базового напрямку
6.0804 “Комп’ютерні науки”
ЗАТВЕРДЖЕНО
на засіданні кафедри
“Системи автоматизованого проектування”
Протокол №
від
ЛЬВІВ 2008
Розв’язування одновимірних крайових задач методом скінченних елементів. Мето дич ні матеріали до лабораторної роботи № 5 з курсу: “Математичне моде лю вання в САПР” для студентів базового напрямку 6.0804 “Комп’ю тер ні науки”.
Укладачі:
Макар В.М., доцент, к.т.н.
Юрчак І.Ю., доцент, к.т.н.
Відповідальний за випуск:
Лобур М.В., проф., д.т.н., завідувач кафедри САП
Рецензенти:
1. МЕТА РОБОТИ
Ознайомитися з методом скінченних елементів у формі Гальор кіна, способом побудови слабкої варіаційної форми та отримати прак тич ні на вики зас то сування методу до розв’язання одновимірних кра йо вих задач на прикладі задачі Штурма-Ліувілля для звичайного ди ферен ціа ль ного рівняння другого порядку.
2. ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ
З математичної точки зору метод скінченних елементів (МСЕ) можна розглядати як процес Гальоркіна з спеціальним вибором ба зис них функцій, кожна з яких має так званий скінченний носій, тобто від мін на від нуля тільки в деякій невеликій підобласті всієї області виз на чен ня вихідної задачі. В свою чергу, метод Гальоркіна можна трак ту ва ти як частковий випадок методу зважених нев’язок, в якому базисні та ва гові функції співпадають. Тому для глибшого розуміння суті МСЕ коротко розглянемо спочатку основні ідеї цих методів
2.1. МЕТОД ЗВАЖЕНИХ НЕВ’ЯЗОК
Розглянемо деяку крайову задачу в обмеженій області з гра ни цею , тобто за дачу знаходження функції , яка задовільняє ди фе рен ціаль не рівнян ня
в , (1)
та граничні умови
на . (2)
Тут – заданий диференціальний оператор, - заданий лінійний опе ратор, – задана функція. Апроксимацію розв’язку крайової задачі (1)-(2) будемо шукати у вигляді розкладу за базисними функціями
, (3)
де - деякі коефіцієнти, які обчислюються таким чином, щоб отримати якомога краще наближення, а функція і базисні функції вибрані таким чином, що
на . (4)
Умови (4) означають, що функція задовільняє граничну умову (2), і, отже , а базисні функції на границі рівні нулю. Ба зис ні функції такого типу часто називаються функціями форми або проб ними функціями. Такий спосіб вибору функції та базисних функцій автоматично забезпечує рівність на для . Це оз начає, що для отримання наближеного розв’язку крайової задачі (1)-(2) за ли шається забезпечити, щоб задовільняла диференціальне рівняння (1).
Найбільш загальний спосіб визначення коефіцієнтів у розкладі (3) полягає у використанні поняття нев’язки (відхилення) і називається методом зважених нев’язок. У загальному випадку нев’язка виникає тоді, коли ми намагаємося апроксимувати (наблизити) деяку функцію в області іншою функцією , і визна чає ть ся вона наступним чином:
. (5)
У нашому випадку нев’язка виникає при підстановці розкладу (3) в диференціальне рівняння (1), оскільки - апроксимація точного розв’язку крайової задачі (1)-(2). В силу лінійності оператора цю нев’язку можна записати у вигляді
. (6)
Очевидно, що нам потрібно зменшити певним чином цю нев’язку, тобто забезпечити, щоб всюди в . Для цього будемо вимагати рівності нулю відповідної кількості інтегралів по від нев’язки , взятих з різними вагами, тобто
, , (7)
де - система лінійно незалежних вагових функцій. У си лу довільності вибору вагових функцій рівності (7) будуть вико ну ва ти ся тоді і лише тоді, коли при , а це і означатиме, що ап рок симація буде задовільняти диференціальне рівняння (1) як зав год но точно. У цьому і полягає основна ідея методу зважених нев’язок. Рівності (7) утворюють систему рівнянь мет...
