Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:
Національний університет Львівська політехніка
Інститут:
Не вказано
Факультет:
Комп’ютерні науки
Кафедра:
Не вказано

Інформація про роботу

Рік:
2008
Тип роботи:
Задача
Предмет:
Математичне моделювання в САПР

Частина тексту файла

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”

Кафедра САП
Розв’язування одновимірних крайових задач методом скінченних елементів
Методичні матеріали до лабораторної роботи 5 з курсу: “Математичне моделювання
в САПР” для студентів базового напрямку
6.0804 “Комп’ютерні науки”
ЗАТВЕРДЖЕНО на засіданні кафедри “Системи автоматизованого проектування” Протокол
від
ЛЬВІВ 2008
Розв’язування одновимірних крайових задач методом скінченних елементів. Методичні матеріали до лабораторної роботи 5 з курсу: “Математичне моделювання в САПР” для студентів базового напрямку 6.0804 “Комп’ютерні науки”.
Укладачі:
Макар В.М., доцент, к.т.н.
Юрчак І.Ю.,
доцент, к.т.н.
Відповідальний за випуск:
Лобур М.В., проф., д.т.н., завідувач кафедри САП
Рецензенти:
1. МЕТА РОБОТИ Ознайомитися з методом скінченних елементів у формі Гальоркіна, способом побудови слабкої варіаційної форми та отримати практичні навики застосування методу до розв’язання одновимірних крайових задач на прикладі задачі Штурма-Ліувілля для звичайного диференціального рівняння другого порядку. 2. ОСНОВНІ ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ З математичної точки зору метод скінченних елементів (МСЕ) можна розглядати як процес Гальоркіна з спеціальним вибором базисних функцій, кожна з яких має так званий скінченний носій, тобто відмінна від нуля тільки в деякій невеликій підобласті всієї області визначення вихідної задачі. В свою чергу, метод Гальоркіна можна трактувати як частковий випадок методу зважених нев’язок, в якому базисні та вагові функції співпадають. Тому для глибшого розуміння суті МСЕ коротко розглянемо спочатку основні ідеї цих методів 2.1. МЕТОД ЗВАЖЕНИХ НЕВ’ЯЗОК
Розглянемо деяку крайову задачу в обмеженій області з границею , тобто задачу знаходження функції , яка задовільняє диференціальне рівняння
в ,
(1) та граничні умови
на .
(2) Тут – заданий диференціальний оператор, - заданий лінійний оператор, – задана функція. Апроксимацію розв’язку крайової задачі (1)-(2) будемо шукати у вигляді розкладу за базисними функціями ,
(3) де - деякі коефіцієнти, які обчислюються таким чином, щоб отримати якомога краще наближення, а функція і базисні функції вибрані таким чином, що

на .
(4) Умови (4) означають, що функція задовільняє граничну умову (2), і, отже , а базисні функції на границі рівні нулю. Базисні функції такого типу часто називаються функціями форми або пробними функціями. Такий спосіб вибору функції та базисних функцій автоматично забезпечує рівність на для . Це означає, що для отримання наближеного розв’язку крайової задачі (1)-(2) залишається забезпечити, щоб задовільняла диференціальне рівняння (1).
Найбільш загальний спосіб визначення коефіцієнтів у розкладі (3) полягає у використанні поняття нев’язки (відхилення) і називається методом зважених нев’язок. У загальному випадку нев’язка виникає тоді, коли ми намагаємося апроксимувати (наблизити) деяку функцію в області іншою функцією , і визначається вона наступним чином: .
(5) У нашому випадку нев’язка виникає при підстановці розкладу (3) в диференціальне рівняння (1), оскільки - апроксимація точного розв’язку крайової задачі (1)-(2). В силу лінійності оператора цю нев’язку можна записати у вигляді .
(6) Очевидно, що нам потрібно зменшити певним чином цю нев’язку, тобто забезпечити, щоб всюди в . Для цього будемо вимагати рівності нулю відповідної кількості інтегралів по від нев’язки , взятих з різними вагами, тобто , ,
(7) де -
система лінійно незалежних вагових функцій. У силу довільності вибору вагових функцій рівності (7) будуть виконуватися тоді і лише тоді, коли при , а це і означатиме, що апроксимація буде задовільняти диференціальне рівняння (1) як завгодно точно. У цьому і полягає основна ідея методу зважених нев’язок. Рівності (7) утворюють систему рівнянь методу зважених нев’язок. Отже, для того, щоб апроксимація була розв’язком рівняння (1) потрібно, щоб коефіцієнти визначалися з системи рівнянь методу зважених нев’язок (7).
2.2. МЕТОД ГАЛЬОРКІНА На практиці можуть використовуватися різні системи вагових функцій , що породжує різні методи на основі зважених нев’язок.
У методі Гальоркіна, який є найбільш популярним варіантом методу зважених нев’язок, за вагові функції вибираються самі базисні функції , тобто .
(8) Підстановка (6) і (8) в систему рівнянь методу зважених нев’язок (7) приводить до системи рівнянь Гальоркіна ,
,
(9) розв’язавши яку відносно невідомих коефіцієнтів , отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР)
(10) з коефіцієнтами , . Легко бачити, що матриця СЛАР (10) є симетричною, що забезпечує методу Гальоркіна суттєві обчислювальні переваги.
Визначивши коефіцієнти розкладу (3) з СЛАР (10), ми тим самим завершимо процес побудови апроксимації Гальоркіна розв’язку крайової задачі (1)-(2). Причому, нагадаємо, спосіб побудови забезпечує апріорі виконання граничних умов (2). Спробуємо тепер послабити цю вимогу, оскільки вона суттєво обмежує вибір можливих типів базисних функцій. Отже, будемо тепер вважати, що розклад ,
(11) не задовільняє апріорі граничним умовам (2). Тоді до нев’язки в диференціальному рівнянні в

(12) додається нев’язка в граничних умовах на
,
(13) а система рівнянь Гальоркіна набуде вигляду , .
(14) Підставивши (12)-(13) в (14) і розв’язавши відносно невідомих коефіцієнтів , знову отримаємо СЛАР
(15) з коефіцієнтами
, . Розв’язок СЛАР (15) дає нам коефіцієнти розкладу (11), тобто апроксимацію Гальоркіна розв’язку крайової задачі (1)-(2), яка вже апріорі не задовільняє точно граничні умови (2). Однак, у цьому випадку виникає інша проблема, яка полягає у тому, що в рівняння Гальоркіна (14) можуть входити інтеграли, що містять похідні від , вздовж границі . Такі інтеграли, особливо для криволінійних границь, обчислити дуже складно. Позбавитись зазначених труднощей можна у такий спосіб. Повертаючись до рівняння Гальоркіна (14), необхідно зауважити, що в цьому рівнянні перший доданок , як правило, можна перетворити за допомогою правила інтегрування за частинами до виду ,
(16) де - деякі лінійні диференціальні оператори нижчого порядку ніж вихідний оператор . Тоді, для граничних умов певного типу, належно вибираючи базисну функцію можна добитися взаємного скорочення інтегралів вздовж границі, що містять та її похідні. Ці граничні умови називаються природніми, а отримане в результаті такого перетворення рівняння називається слабким формулюванням методу Гальоркіна або слабкою формою рівняння Гальоркіна. Інша перевага слабкої форми полягає в тому, що на базисні функції накладаються слабші умови гладкості.
Очевидно, що в методі Гальоркіна ключовою проблемою є проблема вибору системи базисних функцій. Причому вважається, що базисні функції визначені всюди в , що є найголовнішим недоліком, оскільки таким чином обмежується як геометрична форма області , так і сам вигляд базисних функцій. Цей недолік усувається в методі скінченних елементів. 2.3. МЕТОД СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ В основі МСЕ лежать дві фундаментальні ідеї: вихідна область розбивається на ряд підобластей або елементів , що не перетинаються; базисні функції , що використовуються в процесі побудови апроксимації розв’язку крайової задачі (1)-(2) є кусково визначеними, тобто вони відмінні від нуля тільки на деяких елементах (про такі функції кажуть, що вони мають скінченний або фінітний носій, а самі функції так і називаються фінітні). Причому для різних елементів можуть використовуватися різні вирази для базисних функцій. Як наслідок, сама апроксимація є також кусковою, тобто може бути визначена окремо на кожному елементі. Більше того, інтеграли в системі рівнянь Гальоркіна (14) можуть бути обчислені простим сумуванням їх вкладів за кожним скінченним елементом : ,
, (17) при умові, що . Тут - загальна кількість скінченних елементів (СЕ), на які розбивається вся область , - та частина границі елемента , що лежить на границі .
Очевидно, що СЕ повинні мати досить просту геометричну форму. Так, для одновимірного випадку СЕ – це відрізки, для 2D областей – трикутники або чотирикутники, а для 3D областей – тетраедри або паралепіпеди. З кожним елементом пов’язується набір точок, які називаються вузлами. У найпростішому випадку ці вузли розташовані у вершинах елемента, у складніших випадках вони можуть знаходитися всередині елемента (в одновимірному випадку) або на лініях (поверхнях) спряження суміжних елементів. Вузли та елементи нумеруються, причому спосіб нумерації впливає на структруру матриці результуючої СЛАР і, відповідно, на обчислювальні характеристики. Тоді апроксимація розв’язку крайової задачі (1)-(2) може бути записана у стандартній формі (11), якщо кожна базисна функція асоціюється з одним вузлом , причому сама базисна функція будується таким чином, щоб її значення було рівне одиниці лише у вузлі та нулю у всіх інших вузлах, тобто .
(18) У силу цієї властивості коефіцієнти у розкладі (11) набувають цілком конкретного фізичного змісту: вони рівні значенню апроксимації у вузлах, тобто , де
- значення у вузлі . Крім того, властивість (18) означає також, що базисна функція відмінна від нуля лише на тих СЕ, які містять вузол . Це в свою чергу і означає, що апроксимація кусково визначена, тобто на кожному СЕ може бути виражена за допомогою лише тих базисних функцій , вузли яких належать цьому елементу. Так, наприклад, в одновимірному випадку на кожному елементі з вузлами глобальна апроксимація виду (11) може бути виражена за допомогою лише двох базисних функцій елемента та вузлових значень так:
.
(19) Отже, кускова визначеність апроксимації є наслідком кускової визначеності базисних функцій . Але, з іншого боку, кускова визначеність базисних функцій означає, що похідні від них будуть мати розриви. Тоді цілком логічно виникає питання, а наскільки допустимо використовувати такі функції в системі рівнянь Гальоркіна (14), які містять похідні від них під знаком інтегралу? З математичної точки зору, це означає, що потрібно встановити так звані умови гладкості на базисні функції, виконання яких гарантуватиме, що під інтегралами системи рівнянь Гальоркіна (14) не будуть виникати різного роду невизначеності. Ці умови гладкості визначаються порядком похідних від базисних функцій. Тут доречно нагадати, що цей порядок похідних можна знизити використовуючи слабку форму рівнянь Гальоркіна. Самі умови гладкості математично виражаються таким чином: якщо рівняння (14) містять похідні порядку , то базисні функції повинні належати класу гладкості , тобто мати кусково-неперервно диференційовані похідні до порядку включно.
Властивість (18) означає, також, що якщо базисні функції будувати у вигляді поліномів певного степеня, то апроксимація вигляду (11) являє собою інтерполяційний поліном розв’язку крайової задачі (1)-(2). Однозначність визначення полінома на кожному СЕ забезпечується тим, що у заданих вузлах у ролі невідомих параметрів фіксуються значення полінома або значення полінома і деяких його похідних. Необхідна гладкість апроксимації у всій області забезпечується тим, що значення відповідних параметрів у спільних вузлах суміжних елеметів співпадають. Поліноміальний вигляд базисних функцій забезпечує МСЕ високу ефективність та простоту обчислень, а також дозволяє отримати апріорні оцінки похибки апроксимації. Більше того, математичні дослідження МСЕ показали, що кусково-поліноміальні базисні функції за умови достатньої гладкості шуканого розв’язку забезпечують побудову наближеного розв’язку майже довільної точності, якщо ввести достатню кількість скінченних елементів або при заданому розбитті використати поліноми вищого порядку. Підсумовуючи, можна виділити такі етапи розв’язання крайових задач за допомогою МСЕ: дискретизація області визначення задачі, яка включає задання кількості, розмірів та геометричної форми СЕ; побудова апроксимації невідомого розв’язку шляхом розкладу за базисними функціями та отримання слабкої форми системи рівнянь Гальоркіна; побудова фінітних базисних функцій у вигляді кусково визначених поліномів певного порядку, який визначається потрібними умовами гладкості розв’язку; підстановка базисних функцій у слабку форму і отримання результуючої СЛАР шляхом побудови локальних матриць на кожному елементі та їх асемблювання у глобальні матриці СЛАР; врахування граничних умов; розв’язання СЛАР та оцінка точності отриманого наближеного розв’язку. 2.4. СХЕМА МЕТОДУ СКІНЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТІВ РОЗВ’ЯЗАННЯ ОДНОВИМІРНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ Для конкретизації наведеної вище загальної процедури застосування МСЕ розглянемо одновимірний випадок. Побудуємо схему МСЕ розв’язання задачі Штурма-Ліувілля в області : ,

(20) ,
.
(21) 2.4.1. ДИСКРЕТИЗАЦІЯ ОБЛАСТІ Для побудови скінченно-елементної сітки поділимо область на відрізків (скінченних елементів) одинакової довжини , точками , , . За вузли СЕ вибиремо кінці відрізка, тобто точки . Отже, кожний СЕ є елементарним відрізком розміру і має два вузли (такий СЕ прийнято називати лінійним одновимірним скінченним елементом), а сітка складається з таких елементів, пронумерованих послідовно зліва направо, і -ого вузла, координати яких можна обчислити за формулою: , . Як правило, для програмної реалізації схем МСЕ цієї інформації про скінченно-елементну сітку є недостатньо. Як мінімум потрібно задати ще так звану матрицю зв’язності, яка зв’язує номери вузлів та номери СЕ, до яких ці вузли належать. Структура такої матриці може бути такою: кількість стовпців рівна кількості СЕ, кількість рядків – кількості вузлів на одному СЕ, а значення елементів стовпців відповідають номерам вузлів, які відносяться до даного СЕ. На рис.1 зображено фрагмент документа MATHCAD, який містить реалізацію дискретизації області визначення крайової задачі (20)-(21).
Рис.1. Приклад побудови скінченно-елементної сітки в одновимірному випадку та підготовки інформаційних масивів Звернемо увагу на двовимірний масив NT, який і відіграє роль матриці зв’язності (тут виведено цей масив для сітки з 4 елементів). 2.4.2. СЛАБКЕ ФОРМУЛЮВАННЯ МЕТОДУ ГАЛЬОРКІНА
Згідно методу Гальоркіна наближений розв’язок крайової задачі (20)-(21) будемо шукати у вигляді розкладу
.
(22) Тут, і надалі, індекс означатиме, що наближений розв’язок шукається на сітці СЕ з кроком розбиття . Підстановка (22) в диференціальне рівняння (20) спричинить появу деякої нев’язки
, на основі якої, за методом Гальоркіна, отримаємо таку систему рівнянь
, . (23) У (23) під інтеграл входить друга похідна, тому базисні функції повинні бути - гладкими на , що є досить жорсткою вимогою. Тому спробуємо послабити цю умову гладкості. Для цього застосуємо правило інтегрування за частинами до першого доданку у рівнянні (23)
. Врахувавши однорідні граничні умови (21) остаточно отримаємо , . (24) Рівняння (24) і є слабкою формою рівнянь Гальоркіна, оскільки вони містять під знаком інтеграла вже тільки першу похідну. Отже, тепер достатньо, щоб базисні функції належали класу гладкості на , тобто були просто кусково-неперервними на . 2.4.3. ПОБУДОВА БАЗИСНИХ ФУНКЦІЙ
Найпростішими базисними функціями МСЕ є кусково-лінійні одновимірні функції, які аналітично задаються співвідношенням .
(25) Легко переконатися, що кусково-лінійні базисні функції (25) володіють властивістю (18), тобто значення кожної функція рівне одиниці лише у вузлі і рівне нулю в усіх інших вузлах. Відповідно, кожна базисна функція відмінна від нуля лише на тих СЕ, які містять вузол , тобто на елементах з номерами та . Більше того, на цих елементах базисна функція є лінійною. А, отже, базисні функції є -гладкими на відрізку .
Тоді глобальна апроксимація виду (22) стає кусково визначеною, тобто на кожному -ому СЕ вона набуває вигляду ,
.
(26) Приклад програмної реалізації одновимірних кусково-лінійних базисних функцій МСЕ в системі MATHCAD наведено на рис.2. Тут же зображено графіки деяких базисних функцій та їх похідних. Рис.2. Одновимірні кусково-лінійні базисні функції МСЕ та їх графіки
2.4.4. ПОБУДОВА РЕЗУЛЬТУЮЧОЇ СИСТЕМИ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ
Підставляючи розклад (22) у слабку форму рівнянь Гальоркіна (24), отримаємо СЛАР відносно невідомих вузлових значень , яка в матричній формі набуває вигляду ,
(27) з коефіцієнтами ,
.
(28) Матриця системи (27) називається матрицею жорсткості, а права частина - вектором навантаження.
Враховуючи співвідношення (25), бачимо, що у виразі для коефіцієнтів матриці жорсткості (28) лише значення індекса рівні , та дають відмінні від нуля значення самих коефіцієнтів .
Причому інтеграл буде містити лише доданки та , що відповідають вкладам СЕ з номерами та , відповідно. Це означає, по-перше, що матриця жорсткості буде трьохдіагональною і симетричною, а, по-друге, що значення коефіцієнта буде складатися з двох доданків:
інтегралу , який є внеском СЕ з номером , та інтегралу , який є внеском СЕ з номером . Тому, на практиці, обчислення коефіцієнтів матриць СЛАР (27) здійснюють не безпосередньо за формулами (28), а шляхом обчислення локальних матриць жорсткості та вектора навантажень з наступним рознесенням їх у глобальні матрицю жорсткості та вектор навантаження . Такий підхід до формування результуючої СЛАР в МСЕ у науковій літературі отримав назву ассемблювання.
Отже, на кожному СЕ тепер потрібно обчислити локальну матрицю жорсткості та вектор навантаження . Оскільки ми вибрали лінійні СЕ, тобто елементи з двома вузлами, і у кожному вузлі шукається лише одна невідома величина, то локальна матриця жорсткості буде мати розмір (і, відповідно, локальний вектор навантаження - розмір 2): ,
. Тоді, враховуючи вище сказане і співвідношення (28), будемо мати, що
, ,
(29) , , та
,
.
(30) Схематично процес ассемблювання глобальної матриці жорсткості та вектора навантаження з локальних матриць та вектора , відповідно,
для тестової сітки з чотирьох СЕ, можна зобразити таким чином ,
(31) .
(32) Отже, розв’язання крайової задачі (20)-(21) МСЕ з використанням одновимірних кусково-лінійних базисних функцій (25) для звелося до СЛАР (27) з матрицею виду (31) та правою частиною виду (32).
Програмна реалізація описаного вище процесу побудови локальних матриці жорсткості та вектора навантажень, і їх ассемблювання в середовищі MATHCAD наведена на рис. 3-4. Для обчислення локальних матриць жорсткості на елементі з номером за формулами (29) введено функцію STIFF(ne). Оскільки базисні функції на першому та останньому СЕ визначаються окремо, то для обчислення локальних матриць жорсткості на цих елементах введено окремі функції STIFF_1 та STIFF_n, відповідно. Аналогічним чином організовано процес обчислення локальних векторів навантажень за формулами (30) за допомогою функцій LOAD(ne), LOAD_1 і LOAD_n. Рис.3. Побудова локальних матриць жорсткості та їх ассемблювання Для рознесення локальних матриць у глобальні введено функцію FindRow(i,ne), яка дозволяє визначити номер рядка глобальної матриці жорсткості (вектора навантаження) для вузла з номером i на СЕ з номером ne, виду
. Рис.4. Побудова локальних векторів навантаження та їх ассемблювання Також, тут використовуються функції
, , які призначені для отримання конкретного елемента локальної матриці жорсткості та локального вектора навантаження, відповідно. 2.4.5. ВРАХУВАННЯ ГРАНИЧНИХ УМОВ
Розрізняють два типи граничних умов: головні граничні умови та природні граничні умови. Формальну ознаку поділу граничних умов на головні та природні можна сформулювати таким чином: якщо задано диференціальне рівняння порядку , то граничні умови, що містять похідні до порядку включно є головними, а граничні умови, що містять похідні порядку та вище називаються природними граничними умовами. Рис.5. Врахування граничних умов Врахування головної граничної умови на лівому(правому) кінці полягає в тому, що перший(останній) стовпець глобальної матриці жорсткості, який є стовпцем коефіцієнтів при відомому значенні, домножається на це значення і переноситься в праву частину системи, причому відкидається перша(остання) стрічка глобальної матриці жорсткості і перший (останній) елемент глобального вектора навантаження. Для цього (див. рис. 5) введено функцію модифікації глобального вектора навантаження
та функцію модифікації глобальної матриці жорсткості . Природня гранична умова на лівому(правому) кінці для рівняння (20) в загальному випадку має вигляд
, .
(33) Це означає, що, як наслідок інтегрування за частинами, у слабкій формі рівнянь Гальоркіна (24) з’явиться доданок , який з врахуванням умови (33) можна перетворити до вигляду . Тоді, якщо , то відповідне рівняння результуючої СЛАР (тобто перше рівняння, якщо природня умова (33) задана на лівому кінці при і останнє рівняння, якщо природня умова (33) задана на правому кінці при ) доповниться вільним членом , який потрібно просто врахувати у векторі навантаження : , . Якщо , то з’являється додатково доданок , який містить невідому функцію , тобто це означає, що потрібно модифікувати той елемент глобальної матриці жорсткості , який є коефіцієнтом при відповідному вузловому значення невідомої функції . Таким елементом є перший (останній) елемент на головній діагоналі, якщо природня умова (33) задана на лівому(правому) кінці. Реалізацію цього випадку задання природної граничної умови в середовищі MATHCAD
можна здійснити, визначивши аналогічні функції , . Тоді для врахування однорідної природної граничної умови (21), як видно з рис. 5, залишається здійснити такі виклики наведених вище функцій
, . Рис.6. Розв’язання СЛАР та оцінка точності наближеного розв’язку
2.4.6. РОЗВ’ЯЗАННЯ СЛАР ТА ОЦІНКА ТОЧНОСТІ ОТРИМАНОГО НАБЛИЖЕНОГО РОЗВ’ЯЗКУ Після врахування граничних умов результуюча СЛАР буде повністю сформована і залишається знайти її розв’язок, наприклад використовуючи вбудовану функцію MATHCAD lsolve. Якщо були задані головні граничні умови, то, в силу вище описаного алгоритму їх врахування, потрібно ще також відповідним чином модифікувати вектор вузлових значень (див. функцію AddNodalValueOnLeftSide(a,g,U,N) на рис. 6.).
Оскільки для крайової задачі (20)-(21) при , , можна отримати точний розв’язок (), то тут же наведено його порівння з апроксимацією за МСЕ на сітці з чотирьох скінченних елементів.
3. КОНТРОЛЬНІ ЗАПИТАННЯ Що таке нев’язка? У чому полягає основна ідея методу зважених нев’язок? Запишіть систему рівнянь методу зважених нев’язок. У чому суть методу Гальоркіна як варіанта методу зважених нев’язок? Якими перевагами володіє метод Гальоркіна? Здійсніть слабке формулювання методу Гальоркіна. Які переваги воно дає? У чому полягають основні ідеї методу скінченних елементів? Що таке умови гладкості на базисні функцій МСЕ? Чому базисні функції повинні задовільняти ці умови? З яких етапів складається загальна схема розв’язування крайових задач методом скінченних елементів? Які граничні умови називаються природними? Як вони виконуються в МСЕ? Що таке головні граничні умови? Яким чином вони задовільняються в МСЕ?
4. ЛАБОРАТОРНЕ ЗАВДАННЯ Ознайомитися з основними поняттями та етапами розв’язання крайових задач методом скінченних елементів. Знайти розв’язок крайової задачі
,
,
. Індивідуальні завдання наведені в Додатку. Дослідити збіжність числового розв’язку при згущенні сітки. Побудувати графіки функцій отриманого наближеного розв’язку та заданого точного розв’язку крайової задачі. Оформити і здати звіт про виконання лабораторної роботи.
5. ЗМІСТ ЗВІТУ Мета роботи. Короткі теоретичні відомості. Постановка задачі індивідуального завдання. Оформлений належним чином (з коментарями, поясненнями та результатами) документ MATHCAD з програмою розв’язання завдання. Аналіз результатів та висновки.
6. СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. - М.: Мир, 1986. - 318 с. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. –М.: Мир, 1977. – 349 с. Молчанов И.Н., Николенко Л.Д. Основы метода конечных элементов. -К.: Наук.думка, 1989. - 272 с. Савула Я.Г. Числовий аналіз задач математичної фізики варіаційними методами. –Львів: видавничий центр ЛНУ ім.Івана Франка, 2004. – 221 с. В.Дьяконов. MATHCAD 8/2000: специальный справочник. – СПб: Питер,2001. -592 с.
ДОДАТОК з/п 1 0 2.25 -1 0 2 0 -2 2 2 0 3 1 1 1 0 -1 4 0 0 -1 1 5 2 1 0 0 1 6 2 2 2 1 0 з/п 7 1 1 0 1 -1 8 0 1 0 0 -1 9 0 0 1 10 1 1 1 0 0 11 10 0 0 1 1 12 -2 2 -1 1 13 0 -1.5 -1 0 14 2 25 0 0 -1 15 -2.5 2.5 0 0 16 0 1 1 -1 17 1 1 1 -1 1 18 2 0 1 -1 19 0 2 1 0 20 0 0 1 -1 21 0 2 1 -1 22 0 0 -1 -1 23 0 0 1 24 1 1 1 0 -1 25 1 1 0 1 -1
Антиботан аватар за замовчуванням

01.01.1970 03:01

Коментарі

Ви не можете залишити коментар. Для цього, будь ласка, увійдіть або зареєструйтесь.

Оголошення від адміністратора

Антиботан аватар за замовчуванням

пропонує роботу

Admin

26.02.2019 12:38

Привіт усім учасникам нашого порталу! Хороші новини - з‘явилась можливість кожному заробити на своїх знаннях та вміннях. Тепер Ви можете продавати свої роботи на сайті заробляючи кошти, рейтинг і довіру користувачів. Потрібно завантажити роботу, вказати ціну і додати один інформативний скріншот з деякими частинами виконаних завдань. Навіть одна якісна і всім необхідна робота може продатися сотні разів. «Головою заробляти» продуктивніше ніж руками! :-)

Завантаження файлу

Якщо Ви маєте на своєму комп'ютері файли, пов'язані з навчанням( розрахункові, лабораторні, практичні, контрольні роботи та інше...), і Вам не шкода ними поділитись - то скористайтесь формою для завантаження файлу, попередньо заархівувавши все в архів .rar або .zip розміром до 100мб, і до нього невдовзі отримають доступ студенти всієї України! Ви отримаєте грошову винагороду в кінці місяця, якщо станете одним з трьох переможців!
Стань активним учасником руху antibotan!
Поділись актуальною інформацією,
і отримай привілеї у користуванні архівом! Детальніше

Новини