КОНТРОЛЬНА РОБОТА №1
ВАРІАНТ 7.
ЗАДАЧА 1.
УМОВА ЗАДАЧІ.
Скільки різних слів можна скласти з літер вашого:
а) імені?
б) прізвища?
РІШЕННЯ ЗАДАЧІ.
Оскільки літери у словах можуть повторюватися, то на кожній позиції нового слова може стояти будь-яка літера імені чи прізвища.
а) ТЕТЯНА – 6 літер, 6! = 720 слів
б) ТУРЧИН – 6 літер, 6! = 720 слів
ВІДПОВІДЬ: а) 720 слів; б) 720 слів
ЗАДАЧА 2.
УМОВА ЗАДАЧІ.
Магазин отримав товар від трьох постачальників: 50% від першого постачальника, 35 – від другого, 15 – від третього. Яка ймовірність того, що 2 навмання відібрані одиниці товару виготовлено:
а) одним і тим же постачальником?
б) першим або другим постачальником?
РІШЕННЯ ЗАДАЧІ:
Подія А1 – 2 навмання відібрані одиниці товару виготовлено першим постачальником;
А2 – виготовлено другим постачальником.
А3 – виготовлено третім постачальником.
А4 – виготовлено першим і другим постачальниками;
А5 – виготовлено першим і третім постачальниками;
А6 – виготовлено другим і третім постачальниками.
Події А1, А2, А3, А4, А5, А6 утворюють повну групу подій.
а) Згідно умові задачі потрібно знайти ймовірність того, що 2 навмання відібрані одиниці товару виготовлено одним і тим же постачальником. Цій умові відповідають подія А1 або А2 або А3:
Р(А1 ( А2 ( А3 ) = Р(А1) + Р(А2) + Р(А3)
Ймовірність, що 2 навмання відібрані одиниці товару виготовлено першим постачальником : Р(А1) = 2/50 = 1 / 25 = 0,25
другим постачальником: Р(А2) = 2/35 = 0,12
третім постачальником: Р(А3) = 2/15 = 0,02
Р(А1 ( А2 ( А3 ) = 0,25 + 0,12 + 0,02 = 0,39
б) Згідно умові задачі потрібно знайти ймовірність того, що 2 навмання відібрані одиниці товару виготовлено першим або другим постачальником. Цій умові відповідають подія А1 або А2
Р(А1 ( А2 ) = Р(А1) + Р(А2) = 0,25 + 0,12 = 0,37
ВІДПОВІДЬ: а)0,39; б)0,37
ЗАДАЧА 3.
УМОВА ЗАДАЧІ.
У рівнобедреному трикутнику з бічною стороною 5 м розташовано квадрат зі стороною 2 м. Яка ймовірність того, що навмання вибрана точка трикутника буде лежати і в квадраті?
ЗАДАЧА 4.
УМОВА ЗАДАЧІ.
На двох полицях стоять книги: на першій – 15 українською і 7 російською мовами, на другій – відповідно 10 і 8 книг. З першої полиці навмання перекладено книгу на другу полицю. Яка ймовірність того, що:
а) навмання вибрана з другої полиця книга виявиться українською?
б) з першої полиці буде перекладено російську книгу, якщо вибрана з другої полиці книга виявилася українською.
РІШЕННЯ ЗАДАЧІ
Можливо два варіанти:
Перекладено українську книгу, тоді на другій полиці буде 19 книг, з них 11 – українських
Перекладено російську книгу, тоді на другій полиці буде 19 книг, з них 10 – українських
Ймовірність витягнути українську книгу буде більше у першому випадку, коли перекладено українську книгу.
На першій полиці – 22 книги, з них 15 – українських, на другій – 18, з них українських – 10.
а) Нехай подія А – поява української книги з другої полиці.
Можуть бути два припущення:
Н1 – переклали українську книгу
Н2 – переклали російську книгу
Тоді:
Р(Н1) = 15 / 22 = 0,68
Р(Н2) = (22 – 15) / 22 = 1 – (15 / 22) = 1 – 0,68 = 0,32
Події Н1 і Н2 утворюють групу подій і за формулою повної ймовірності:
Р(А) = Р(Н1) Р(А/Н1) + Р(Н2) Р(А/Н2) = 0,68 ( 11 / 19 + 0,32 ( 10 / 19
= 0,68 ( 0,58 + 0,32 ( 0,52 = 0,39 + 0,17 = 0,56
б) У цьому випадку достовірно відомо, що з другої полиці витягнули українську книгу, ймовірність Р(А)
Р(Н2(А) = (Р(Н2) Р(А/Н2)) / Р(А) = 0,17 / 0,56 = 0,3
ВІДПОВІДЬ: а) 0,56; б) 0,3
КОНТРОЛЬНА РОБОТА №2
ВАРІАНТ 7.
ЗАДАЧА 1.
УМОВА ЗАДАЧІ.
Підприємство виготовляє аудіотехніку, 3% якої має дефекти. Для контролю з партії апаратури навмання вибирається 5 виробів. Якщо виріб має дефект, то при перевірці його виявляють з імовірністю 0,94. Яка ймовірність того, що дефект буде знайдено:
а) тільки в одному виробі?
б) хоча б в одному виробі?
РІШЕННЯ ЗАДАЧІ
Ймовірність того, що при однієї перевірці буде виявлено дефект дорівнює 0,94. Виконано п’ять незалежних перевірок. Одну перевірку виробу можна розглядати як одне незалежне випробування, п’ять незалежних перевірок – як послідовність n=5 незалежних вимірювань.
Подія А(виявлення дефекту) може настати с ймовірністю P=0,94 або не настати з ймовірністю q = 1 - P = 1 – 0,94 = 0,06 при однієї незалежної перевірці.
а) Ймовірність того, що подія А настане рівно k=1 раз при n=5 незалежних перевірках обчислюється за формулою Бернуллі:
Pn(k) = ( Pk ( qn-k ,
P5(1) = x P1 x q4 = 5 x 0,94 x 0,064 = 0,6 ( 10-4
б) Ймовірність того, що подія А настане хоча б один раз при n=5 незалежних перевірках: 1 - (0,06)5 = 0,9999992
ВІДПОВІДЬ: а) 0,6 ( 10-4; б) 0,9999992
ЗАДАЧА 2.
УМОВА ЗАДАЧІ.
Протягом місяця (30 днів) інспекторами ДАІ проводиться в середньому 4 рейди з перевірки технічного стану автомобілів. Знайти ймовірність того, що протягом 2 тижнів (14 днів) буде проведено не більше 3 рейдів.
РІШЕННЯ ЗАДАЧІ
Для рішення скористаємося теоремою Пуассона:
n = 14
p = 4 / 30 = 0,13
( = n ( p = 14 ( 0,13 = 1,86
, де к = 1, 2, 3, …, кі
Згідно умові задачі потрібно знайти ймовірність того, що протягом 14 днів буде проведено не більше 3 рейдів, тобто:
Р(( ( 3( = Рn(0) + Рn(1) + Рn(2) + Рn(3)
Значення Рn(0), Рn(1), Рn(2), Рn(3) візьмемо з таблиці : “Розподіл Пуассона”:
Рn(0) = 0,1678
Рn(1) = 0,2954
Рn(2) = 0,2832
Рn(3) = 0,1548
Р(( ( 3( = 0,1678 + 0,2954 + 0,2832 + 0,1548 = 0,901
ВІДПОВІДЬ: Р(( ( 3( = 0,901
ЗАДАЧА 3.
УМОВА ЗАДАЧІ.
Фірмовий салон продає 20% ексклюзивного одягу. Навмання вибирають 5 виробів. Випадкова величина ( - число ексклюзивних виробів серед п’яти відібраних. Знайти закон розподілу випадкової величини (, математичне сподівання М(, дисперсію D( і середньоквадратичне відхилення (( .
РІШЕННЯ ЗАДАЧІ
Уведемо ( - число ексклюзивних виробів серед п’яти відібраних..
( =(0 =0
( =(1 =1
( =(2 =2
( =(3 =3
( =(4 =4
( =(5 =5
.P0,5 = ( 0,20 ( 0,85 = 0,32
P1,5 = ( 0,21 ( 0,84 = 0,2 ( 0,41= 0,41
P2,5 = ( 0,22 ( 0,83 = 0,4( 0,51 = 0,2
P3,5 = ( 0,23 ( 0,82 = 0,08 ( 0,64 = 0,05
P4,5 = ( 0,24 ( 0,81 = 0,008 ( 0,8 = 0,006
P5,5 = ( 0,25 ( 0,80 = 0,003
Складемо таблицю (закон розподілу):
(
0
1
2
3
4
5
Р
0,32
0,41
0,2
0,05
0,006
0,003
Математичне сподівання
M( = 0,41 + 0,4 + 0,15 + 0,024 + 0,015 = 1
Щоб знайти математичне сподівання ( 2 або M( 2 запишемо закон розподілу ( 2 у вигляді таблиці
(2
0
1
4
9
16
25
Р
0,32
0,41
0,2
0,05
0,006
0,003
M( 2 = 0,41+ 0,8 + 0,45 + 0,01 + 0,075 = 1,75
Дисперсію D( розрахуємо по формулі:
D( = M( 2 – (M( )2 = 1,75 - 1 = 0,75
Середньоквадратичне відхилення (( дорівнює:
(( = = 0,87
ВІДПОВІДЬ: M( = 3,2; D( = 0,76; (( = 0,87
ЗАДАЧА 4.
УМОВА ЗАДАЧІ.
Випадкова величина ( задана функцією розподілу:
0, x ( 0
F(X) = Х3 ; 0 ( X ( 2
1, x ( 2
Визначити щільність розподілу f(x), математичне сподівання М(, дисперсію D( . Знайти ймовірність того, що ( набуде будь яке значення з інтервалу (1; 2(. Побудувати графіки функцій F(X) та f(x)
РІШЕННЯ ЗАДАЧІ.
Графік функції F(x) має вигляд: (рис.1)
F(x)
1
0,4
0, 1
0,01 Рис. 1
0 0,5 1 1,5 2 х
Знайдемо диференціальну функцію розподілу – щільність розподілу f(x):
0, x ( 0
f(x) = х2; 0 ( x ( 2
0, x ( 2
Графік функції f(x) має вигляд: (рис.2)
f(x)
1,5
0,8
0, 37
0,04 Рис. 1
0 0,5 1 1,5 2 х
Знайдемо математичне сподівання М(Х):
b 2 2
M(() = (xf(x)dx = ( x3dx = = 1,5
a 0 0
Знайдемо дисперсію D(X):
b 2 2
D(() = (x2f(x)dx – M2(X) = ( x4 dx – (1,5)2 = - 2.25 =
a 0 0
= 2,4 – 2,25 = 0,15
Знайдемо ймовірність того, що випадкова величина Х набуде значення в інтервалі [1; 2]:
b 2 2
P(1 ( х ( 2) = ( f(x)dx = ( х2dx = = 1 – 0,125 = 0,875
a 1 1
ВІДПОВІДЬ: M(( ) = 1,5; D(( ) = 0,15; P(1 ( х ( 2) = 0,875
