Міністерство освіти та науки України Національний університет водного господарства та природокористування Кафедра трудових ресурсів і підприємництва Лабораторна робота №6 “Гетероскедастичність” Рівне - 2005 Мета роботи: Набуття практичних навичок тестування наявності гетероскедастичності і оцінювання параметрів економетричної моделі узагальненим методом найменших квадратів Задачі роботи : Тестування наявності гетероскедастичності за допомогою параметричного тесту Голдфелда – Квондта. Оцінювання параметрів економетричної моделі узагальненим методом найменших квадратів (методом Ейткена ). Завдання роботи. Для деякого регіону виконується економетричне дослідження залежності заощаджень (y) від доходу на душу населення (x). Вважається, що економетрична модель є лінійною. 1.Вихідні дані. Рік Заощадження, y Дохід, x  1 5,10 16,4  2 5,30 69,4  3 4,88 17,4  4 5,00 18,4  5 4,90 18,4  6 5,50 86,4  7 6,79 101,4  8 5,30 21,4  9 6,74 91,4  10 5,30 23,4  11 5,90 65,4  12 5,00 16,4  13 5,62 73,4  14 5,84 81,4  15 5,12 19,4  16 5,00 21,4  17 5,90 96,4  18 5,25 20,4   2.Виконується ранжування (впорядкування) даних статистичних спостережень у порядку зростання значень величини доходу (незалежної змінної x). Ранжування виконується у допоміжній таблиці 1 . Таблиця 1. Рік Xі Yі  1 16,4 5,10  2 16,4 5,00  3 17,4 4,88  4 18,4 5,00  5 18,4 4,90  6 19,4 5,12  7 20,4 5,25  8 21,4 5,30  9 21,4 5,00  10 23,4 5,30  11 65,4 5,90  12 69,4 5,30  13 73,4 5,62  14 81,4 5,84  15 86,4 5,50  16 91,4 6,74  17 96,4 5,90  18 101,4 6,79   3. Будуються дві лінійні парні регресії для двох утворених сукупностей спостережень обсягом
Це відбувається на основі 1МНК. На основі отриманих рівнянь регресії для кожної з двох моделей обчислюються розрахункові значення залежної змінної
(заощадження) і залишки е. Розрахунки зазначених величин виконуються у допоміжній таблиці 2. Таблиця 2. Модель Рік xі yі b0 b1 y=b0+b1xі eі=yі - y  1 1 16,4 5,10 4,2109 0,0455 4,958 0,14   2 16,4 5,00   4,958 0,04   3 17,4 4,88   5,003 -0,12   4 18,4 5,00   5,049 -0,05   5 18,4 4,90   5,049 -0,15   6 19,4 5,12   5,094 0,03   7 20,4 5,25   5,140 0,11  2 12 69,4 5,30 2,6531 0,0385 5,328 -0,03   13 73,4 5,62   5,482 0,14   14 81,4 5,84   5,791 0,05   15 86,4 5,50   5,983 -0,48   16 91,4 6,74   6,176 0,56   17 96,4 5,90   6,369 -0,47   18 101,4 6,79   6,561 0,23   4.Для кожної побудованої моделі визначаються суми квадратів залишків :
(1) де e1,i – залишки для першої моделі; e2,i – залишки для другої моделі. SSE1= 0,075  SSE2= 0,846   5.Обчислюється критерій F* за формулою :
(2) F*= 11,3483   6. Знаходиться критичне значення критерія Фішера Fкр: Воно знаходиться за статистичними таблицями F – розподілу Фішера для ступенів вільності (1 = (2 = [(n-c)/2] - k (де k – кількість оцінених у кожній регресії параметрів) і рівня значимості ( = 0,05 . Fкр= 5,05   7.Порівнюється розрахункове значення критерія Фішера F* з його критичним значенням Fкр: F* > Fкр 8.Виконується оцінювання параметрів моделі узагальненим методом найменших квадратів (методом Ейткена) у наступній послідовності : приймається гіпотеза про те, що дисперсія залишків пропорційна до зміни пояснюючої змінної (фактора) x, тобто для елементів матриці перетворень S маємо :
(3) формується матриця спостережень за незалежними змінними моделі X :
(4) і знаходиться транспонована до неї матриця X′ :
(5) 1 16,4   1 16,4   1 17,4   1 18,4   1 18,4   1 19,4   1 20,4   1 21,4  X= 1 21,4   1 23,4   1 65,4   1 69,4   1 73,4   1 81,4   1 86,4   1 91,4   1 96,4   1 101,4      X'= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   16,4 16,4 17,4 18,4 18,4 19,4 20,4 21,4 21,4 23,4 65,4 69,4 73,4 81,4   ………. формується матриця S-1 , обернена до матриці перетворень S
(6) 0,0610 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0 0,0610 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0,0575 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0,0543 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0,0543 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0,0515 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0,0490 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 0,0467 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0  S-1= 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0467 0 0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0427 0 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0153 0 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0144 0 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0136 0 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0123 0 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0116 0 0 0   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0109 0 0   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0104 0   0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0099   знаходиться добуток матриць X′ S-1; X'S-1= 0,0610 0,0610 0,0575 0,0543 0,0543 0,0515 0,0490 0,0467 0,0467 0,0427 0,0153 0,0144 0,0136 0,0123 0,0116 0,0109 0,0104 0,0099   1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1   знаходиться добуток матриць X′ S-1 X; X'S-1X= 0,623236225 18   18 858,2   знаходиться обернена матриця (X′ S-1 X) -1; (X'S-1X)-1= 4,069973 -0,085364   -0,085364 0,002956   знаходиться матриця X′ S-1 Y; X'S-1Y= 3,24389073   98,44   знаходиться вектор оцінок параметрів узагальненої моделі B :
(7) B= 4,7993   0,0140   9.Записується узагальнена економетрична модель. Y = 4,7993+0,0140X Висновки Гетероскедастичність – це явище, при якому дисперсія складової моделі
не є сталою величиною, а змінюється від одного спостереження до іншого. В даній лабораторній роботі ми тестували наявність гетероскедасичності в моделі за допомогою параметричного тесту Голфелда-Квондта. Розрахувавши критерій Фішера за формулою
і порівнявши його з критичним значенням можна зробити висновок про те, що F* > Fкр. Це означає, що в моделі присутня гетероскедастичність. B= 4,7993   0,0140   При наявності гетероскедастичності параметри моделі шукаємо за методом найменших квадратів (методом Ейткена). Вектор оцінки параметрів узагальненої моделі В знаходиться за формулою:
В результаті розрахунку отримаємо: Тобто b0=4,7993; b1=0,0140. Узагальнена економетрична модель має вигляд: y=4,7993+0,0140x.