МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ „ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА” Кафедра АТХП
ДОСЛІДЖЕННЯ ЛІНІЙНИХ МОДЕЛЕЙ КЛАСИЧНИМИ МЕТОДАМИ Звіт до лабораторної роботи №3 з дисципліни: „Математичне моделювання на комп’ютерах” Варіант 4 Дослідити лінеаризовану математичну модель відкритої проточної гідравлічної ємності, зображеної малюнку.
де А =
, b =
. Початкові умови:
. Збурення:
Па Зведення системи лінійних рівнянь до одного диференційного рівняння.
Для того щоб застосувати до системи формулу Крамера потрібно записати її в операторному вигляді. Введемо оператор диференціювання
і перепишемо систему :

В матричній формі система має вигляд
, або А*у=f , де А =
, у =
, f =
. Потрібно отримати диференційне рівняння вищого порядку відносно
.
;
. Aбо, перепозначивши А1=
, А2=
, отримаємо:
Знаходження реакції лінійної моделі на стрибкоподібне збурення. Для лінійної математичної моделі справедливі принципи суперпозиції , однорідності та комутативності , тому загальну реакцію моделі можна шукати як суму реакцій на збурення
. Знайдемо реакцію r1(t) на стрибкоподібне збурення
.
;
. Заміна

дозволить звести диференційне рівняння до однорідного:
Для даного варіанту
,
. Характеристичне рівняння отримане за диф. рівнянням -
, має розв’язки
,
Оскільки корені характеристичного рівняння є дійсні різні числа , то розв’язок диф. рівняння має вигляд
. Перейшовши від z до r1, маємо:
. Загальний розв’язок диференційного рівняння, тобто перехідна функція об’єкту r(t), має вигляд:
;
. Нехай
, отримаємо:
. Невідомі коефіцієнти
знайдемо з початкових умов
та
.
, значення
знаходимо з першого рівняння системи:
. Враховуючи, що при

,
, отримаємо
.

При t=0

,
. Порівняння графіків перехідних функцій, отриманих за аналітичним розв’язком та числовим методом. Для перевірки правильності аналітичного розв’язку диференційного рівняння побудуємо в одній системі координат графік залежності r(t) та графік перехідної функції, отриманий за допомогою функції STEP. Послідовність команд, яку потрібно виконати для побудови графіків, зібрана у script-файлі graf.m. Оскільки графіки точно накладаються, то точки одного з них показані колами. % Файл порівняння графіків перехідних процесів отриманих % за аналітичною залежністю та числовим методом % ----------------------------------------------------- % Побудова аналітичної залежності Px=700; t=[0:20:600]; a=[0 -5.09295817894065; 0.00277371215385 -1.57190067251255]; b=[0; -0.28274333882308e-006]; A1=-a(2,2); A2=-a(1,2)*a(2,1); D=sqrt((A1/A2)^2-4/A2); lb1=(-A1/A2+D)/2*A2; lb2=(-A1/A2-D)/2*A2; N=a(1,2)*b(2,1); c2=lb1*Px/A2/(lb2-lb1); c1=-Px/A2-c2; r=N*c1*exp(lb1*t)+N*c2*exp(lb2*t)+N*Px/A2; c=[1 0]; d=[0]; [y,x]=step(a,b,c,d,1,t); x=Px*x; plot(t,r,'o',t,x(:,1)); grid; title('perexidna f'); ylabel('h-h0,m'); xlabel('t,c');
Рис.1. Порівняння графіків перехідної функції. Знаходження реакції лінійної моделі на імпульсне збурення. Для лінійної моделі імпульсна перехідна функція h(t)=dr(t)/dt, тобто
. Порівняння графіків імпульсних перехідних функцій. Графік аналітичної імпульсної перехідної(ІПФ) функції побудуємо за залежністю
. Для числового знаходження реакції на U0(t) використаємо функцію IMPULSE. Для накладання графіків ІПФ додамо у файл graf.m такі стрічки: Px=700; t=[0:20:600]; a=[0 -5.09295817894065; 0.00277371215385 -1.57190067251255]; b=[0; -0.28274333882308e-006]; A1=-a(2,2); A2=-a(1,2)*a(2,1); D=sqrt((A1/A2)^2-4/A2); lb1=(-A1/A2+D)/2*A2 ; lb2=(-A1/A2-D)/2*A2; N=a(1,2)*b(2,1); c2=lb1*Px/A2/(lb2-lb1); c1=-Px/A2-c2; h=lb1*N*c1*exp(lb1*t)+lb2*N*c2*exp(lb2*t); c=[1 0]; d=[0]; [y,x]=impulse(a,b,c,d,1,t); y=Px*y; plot(t,h,'o',t,y); grid; title('impulsna perexidna f'); ylabel('h-h0,m'); xlabel('t,c'); Після виконання модифікованого файлу graf.m одержимо графіки зображені на рис.4.
Рис.2. Порівняння графіків імпульсної перехідної функції.