МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ “ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА”
ДИФЕРЕНЦІЮВАННЯ В ПАКЕТІ MATHCAD МЕТОДИЧНІ ВКАЗІВКИ ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ №3 З КУРСУ “КОМП’ЮТЕРНА ОБРОБКА ІНФОРМАЦІЇ” для студентів базового напряму 6.170103 «Управління інформаційною безпекою» №2881 від 8.10.09 Затверджено на засіданні кафедри “Захист інформації” протокол №3 від 24.09.2009 р. Львів – 2009 Диференціювання в пакеті Mathcad: Методичні вказівки до лабораторної роботи з курсу “Комп’ютерна обробка інформації” для студентів базового напряму 6.170103 «Управління інформаційною безпекою» /Укл. Л.В.Мороз, Л.М.Ракобовчук, І.І.Рудик, О.В.Пащук - Львів: НУЛП, 2009, - 12 с. Укладачі: Мороз Л.В., канд. техн. наук, доц. Ракобовчук Л.М., канд. техн. наук, доц. Рудик І.І., інженер Пашук О.В., асистент Відповідальний за випуск: Дудикевич В.Б., проф., д.т.н, зав.каф. Захисту інформації Рецензент: Максимович В.М., доктор техн. наук, проф. Мета: навчитись обчислювати межі функцій, проводити диференціювання в середовищі Mathcad, ознайомитись з основними одиницями розмірностей і навчитися створювати анімацій. 1. Теоретична частина Пряма називається асимптотою графіка функції у = f(x), якщо відстань від змінної точки M графіка до цієї прямої при віддаленні точки M у безмежність прагне до нуля, тобто точка графіка функції при своєму прагненні у безмежність повинна необмежено наближатися до асимптоти. Крива може наближатися до своєї асимптоти, залишаючись з одного боку від неї або з різних сторін, нескінченну безліч разів перетинаючи асимптоту і переходячи з однієї її сторони на іншу. Графік функції може перетинати асимптоту необмежене число разів. Асимптота - деяка пряма, до якої дана крива необмежено наближається, тобто це є сталий стан. Види асимптот графіків; вертикальна, похила, горизонтальна. Вертикальная асимптота – пряма виду
при умові існування межі
. Як правило, при визначенні вертикальної асимптоти шукають не одну межу, а дві односторонніх. Це робиться з метою визначити, як функція поводиться при наближенні до вертикальної асимптоти з двох різних сторін: 1.)
2.)
Похила асимптота - пряма виду
при умові існування меж 1.)
2.)
Якщо хоч би однієї з двох меж не існує (тобто рівна ∞), то похилої асимптоти при
(або
) не існує. Горизонтальна асимптота є окремим випадком похилої при
, випливає, що функція має або тільки одну похилу асимптоту, або одну горизонтальну асимптоту, або одну похилу і одну горизонтальну, або дві похилих, або дві горизонтальних, або ж зовсім не має асимптот. Горизонтальна асимптота - пряма вида
при умові існування межі
.
Рис. 1. Графік функції з двома горизонтальними асимптотами. Асимптота може бути і кривою. 2. Порядок виконання роботи. 2.1. Визначення межі функції. Три нижні кнопки інструментальної панелі Оператори математичного аналізу призначені для обчислення меж функцій.
Обчислення межі - це операція символьної математики і тому завершується символом стрілки вправо →. Приклад 2.1. Обчислити межі. 1.
2.
Обчислення меж з обох боків.
 
2.2. Проведення операції диференціювання. В Mathcad для обчислення похідної використовується панель Оператори математичного аналізу. Приклад 2.2. Обчислити за визначенням похідну функції
Для вирішення завдання використовуємо:
Причому символ диференціювання вибирається тільки з палітри, вводити його "вручну" не можна. Закінчується операція диференціювання знаком =, якщо необхідно отримати чисельне значення похідної в точці, і знаком →, якщо необхідно отримати символьне значення.


Приклад 2.3. а)
б)

simplify знаходимо на панелі Символічні оператори. 2.3. Дослідження функцій. Обчислення точки екстремуму і знаходження похилої асимптоти. Приклад 2.4. Дана функція
на інтервалі
. Знайти її похилу асимптоту. Для знаходження асимптоти обчислимо похідну:
В точці локального максимуму
Вирішимо це рівняння.




Рис. 1. Асимптота зображена штрихом. Похила асимптота визначається рівнянням:
де
Обчислимо



Будуємо графік (рис.1). Обчислимо межу похідної в точці х=0 зліва і справа.

В нулі функція неперервна. 2.4. Ознайомлення з основними одиницями розмірностей і створення анімацій. В Mathcad реалізована можливість використання змінних з розмірностями і зарезервовані деякі константи з їх розмірностями, наприклад прискорення вільного падіння
. Причому можливий вибір системи одиниць в меню з переліку: SI, MKS, CGS, US або відмова від вибору розмірностей. При роботі з розмірними величинами можна вводити розмірності вручну після знаку множення, або ж вибирати із списку по команді Ctrl + U або кнопкою
.
Базовими одиницями системи SI є: · m - метр (1L) · kg - кілограм (1M) · s - секунда (1T) · K - Кельвін (одиниця температури 1K) · A - ампер (одиниця сили струму 1A) · cd - Кандела (одиниця сили світла 1C) · mole - мoль (кількість речовини 1S). Якщо клацнути мишкою по будь-якому виразу Mathcad, справа з'являється маркер для введення розмірностей. Таким чином можна вводити розмірності, або перетворювати значення з одних одиниць в інших, наприклад перетворення футів в метри, а милі в метри і фути:



При обчисленнях змінних з розмірностями відбувається контроль розмірності операндів і, при її неспівпадінні, видається повідомлення про помилку. Приклад 2.5. Тіло кинуте під кутом α до горизонту з початковою швидкістю V0=(Vx,Vy).
Нехай початкова швидкість
Кут кидання α:=500 (degree) Рівняння руху:

  Для позначення змінних використовуйте текстовий індекс .0. Для побудови графіка необхідно знайти час руху. Знайдемо його з рівняння:
0 - початкова точка, t0; час руху:
Задамо інтервальну змінну і побудуємо графік функції.


Можна знайти максимальну відстань по осі х і максимальну висоту підйому.



3. Завдання для виконання роботи. 3.1. Обчисліть межі.
 

3.2. Обчисліть межі з обох боків.  
 
3.3. Проведіть диференціювання.

3.4. Побудувати графіки функцій:

Знайти: Нулі функцій. Точки локальних екстремумів. 4. Зміст звіту. 4.1. Представити результати обчислень і графічний матеріал відповідно п.2. 4.2. Представити результати обчислень і графічний матеріал відповідно п.3. Список літератури. Кирьянов Д.А. Самоучитель MathCad 11.– Санкт-Петербург: БВХ- Петербург, 2003.– 540 с. Гурский Д.А., Турбина Е.А. Вычисления MathCad 12– Санкт-Петербург: Питер, 2006.– 546 с. http://www.exponenta.ru/educat/systemat/litvinenko/task03/task03.asp Навчальне видання Диференціювання в пакеті Mathcad: Методичні вказівки до лабораторної роботи з курсу “Комп’ютерна обробка інформації” для студентів базового напряму 6.170103 «Управління інформаційною безпекою» Укладачі: Мороз Л.В., канд. техн. наук, доц. Ракобовчук Л.М., канд. техн. наук, доц. Рудик І.І., інженер Пашук О.В., асистент