МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА» ІКТА кафедра БІТ ЗВІТ до лабораторної роботи № 3 з курсу: «Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем» на тему: «ІТЕРАЦІЙНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ» Мета роботи Ознайомлення з ітераційними методами розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Теоретичні відомості Метод простої ітерації. Нехай задано лінійну систему
(1) Розглянемо матриці


Тоді систему (1) можна записати у вигляді матричного рівняння
(2) Будемо вважати, що діагональні коефіцієнти
(і = 1, 2,…, n). Розв’яжемо перше рівняння системи (1) відносно
, друге відносно
і т.д. Тоді одержимо еквівалентну систему
(3) де

, при
;
, при
;
;
;
Кажуть, що система (3) зведена до нормального вигляду. Введемо матриці ( та (

Систему (3) запишемо у вигляді
(4) Систему (3) будемо розв’язувати методом послідовних наближень. За нульове наближення позначимо, наприклад, стовпчик вільних членів
. Далі послідовно будуємо матриці-стовпці наступних наближень розв’язку системи (4):
– перше наближення
– друге наближення і т.д. Будь-яке (k + 1)-е наближення обчислюється за формулою:
, (k = 0, 1, 2, …) (5) В розгорнутому вигляді
. Якщо послідовність наближень
має границю
, (6) то ця границя є розв’язком системи (3). На практиці ітераційний процес припиняють, коли
, де ( – гранична абсолютна похибка. Приклад. Розв’язати систему методом простої ітерації:
. Зведемо систему до нормального вигляду
(7) або в матричній формі
(8) За нульові наближення коренів системи приймаємо вектор вільних членів:
. Підставляємо ці значення в праві частини системи (7). Одержимо перші наближення коренів
Далі знаходимо другі і треті наближення коренів

Умови збіжності ітераційного процесу Нехай задано зведена до нормального вигляду система лінійних рівнянь
Умова збіжності: якщо сума модулів елементів рядків або модулів елементів стовпців матриці α менша ніж 1, то процес ітерації для даної системи збігається до єдиного розв’язку незалежно від вибору вектора початкових наближень. Наприклад задано систему:
Зведена до нормального виду система:
Матриця
заданої системи:
Cума модулів коефіцієнтів по стовпцях:
Таким чином умова збіжності ітераційного процесу для заданої системи виконується. Аналогічно можна було б перевірити виконання умови збіжності, беручи суми модулів елементів рядків матриці
. Наведена вище умова є достатньою, але не є необхідною. Це означає, що якщо умова виконується, то процес буде збіжним. Коли ж умова не виконується, то це ще не означає, що процес буде розбіжним. Для системи лінійних рівнянь, заданих у вигляді (2) умова збіжності ітераційного методу формулюється так. Ітераційний метод розв’язування системи (2) збігається, якщо модулі діагональних коефіцієнтів
для кожного рівняння системи більші, ніж суми модулів всієї решти коефіцієнтів даного рівняння (не враховуючи вільних членів). Приклад: Умова збіжності:
(9) Задана система:
(10) Перевірка умови:
(11) У випадку, якщо для заданої системи умова збіжності не виконується і ітераційний процес методу є розбіжним, необхідно добитися виконання умови збіжності шляхом лінійних перетворень заданої системи (перестановка рядків, стовпців матриці коефіцієнтів, домноження рівнянь на деякий коефіцієнт, додавання, віднімання рівнянь, тощо). Дещо простішій програмній реалізації піддається наступна формула методу простих ітерацій:
(12) Звідки вона береться? Відомо, що при зведенні системи
до вигляду
кожне
представляється у вигляді
або

. Якщо зняти обмеження j ( i, то цю формулу можна переписати у такому вигляді
. Звідси випливає, що
. Завдання Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом
S=k*0.2, b=p*0.2, k=4, р=5. Блок-схема алгоритму програми початок створення масивів А, а, х, b заповнення масивів А та b Масиви А та b Console.ReadLine(); Console.Clear(); система рівнянь i=0,n j=0,n ні так i=j b[i] = b[i] / a[i, i]; A[i, j] = -a[i, j] / a[i, i]; A[i, j] = 0; початкове наближення i=0,n x[i] = b[i]; масив початкових наближень v=0; 1 1 while (Math.Abs(x[0]-f)>E) f=x[0]; v++ i=0,n S1 = 0; S2 = 0; j=0,i S1 += A[i, j] * x[j]; j=i,n S2 += A[i, j] * x[j]; x[i] = b[i] + S1 + S2; x[i] кінець Список ідентифікаторів констант, змінних, процедур і функцій. main – головна функція printf, scanf – функції вводу-виводу даних for – оператор циклу; a – матриця коефіцієнтів A – матриця а, зведена до нормального вигляду x – стовпцева матриця розв’язків Остаточний текст програми мовою С. #include<conio.h> #include<stdio.h> #include<math.h> #define n 4 #define E 0.0001 void main() { int i,j; double k,p,S,t,a[n][n],A[n][n],b[n],x[n],z[n],suma; printf("k=");scanf("%lf",&k); S=k*0.2; printf("p=");scanf("%lf",&p); t=p*0.2; a[0][0]=13.3; a[0][1]=12.62+S; a[0][2]=4.1; a[0][3]=1.9; a[1][0]=3.92; a[1][1]=8.45; a[1][2]=1.78-S; a[1][3]=1.4; a[2][0]=3.77; a[2][1]=1.21+S; a[2][2]=8.04; a[2][3]=0.28; a[3][0]=2.21; a[3][1]=3.65-S; a[3][2]=1.69; a[3][3]=9.99; b[0]=-10.55+t; b[1]=12.21; b[2]=15.45-t; b[3]=-8.35; for(i=0;i<n;i++) { for(j=0;j<n;j++) printf("%lf ",a[i][j]); printf("%lf\n",b[i]); } for(i=0;i<n;i++) { b[i]/=a[i][i]; for(j=0;j<n;j++) if(i!=j) A[i][j]=a[i][j]/(-a[i][i]); else A[i][j]=0.0; printf("\n"); } for(i=0;i<n;i++) { for(j=0;j<n;j++) printf("%lf ",A[i][j]); printf("%lf\n",b[i]); } for(i=0;i<n;i++) { z[i]=x[i]; x[i]=b[i]; } M1: for(i=0;i<n;i++) { z[i]=x[i]; } for(i=0;i<n;i++) { suma=0.0; for(j=0;j<n;j++) suma+=A[i][j]*x[j]; x[i]=b[i]+suma; } for(i=0;i<n;i++) if(fabs(x[i]-z[i])>=E) goto M1; printf("\n \n Koreni: \n"); for(i=0;i<n;i++) printf(" x%d=%lf\n ",i+1,x[i]); } Результат виконання програми.
Висновок. Виконав[ім’я автора приховано]