МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ І СПОРТУ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА» Інститут економіки та менеджменту
Лабораторна робота №4 з курсу «Економічні методи та моделі» на тему: «Побудова лінійної багатофакторної моделі та дослідження її адекватності» Перевірила: [ім’я автора приховано] Львів – 2012 Вихідні дані (В-16) № Y x1 x2 x3 x1^2 x2^2 x3^2 x1*x2 x1*x3 x2*x3 y*x1 y*x2 y*x3 y-yc (y-yc)^2 y teor y teor - yc (y teor - yc)^2 y – y teor (y - yteor)^2  1 26,18 3,98 10,11 23,2 15,84 102,21 538,24 40,24 92,34 234,55 104,20 264,68 607,38 -14,78 218,43 29,28 -11,68 136,51 -3,10 9,58  2 23,1 4,49 12,5 24,49 20,16 156,25 599,76 56,13 109,96 306,13 103,72 288,75 565,72 -17,86 318,96 34,65 -6,31 39,82 -11,55 133,38  3 48,15 4,82 18,61 26,96 23,23 346,33 726,84 89,70 129,95 501,73 232,08 896,07 1298,12 7,19 51,71 47,29 6,33 40,03 0,86 0,75  4 41,09 5,23 15,78 28,25 27,35 249,01 798,06 82,53 147,75 445,79 214,90 648,40 1160,79 0,13 0,02 42,07 1,11 1,23 -0,98 0,96  5 51,62 5,93 20,2 30,3 35,16 408,04 918,09 119,79 179,68 612,06 306,11 1042,72 1564,09 10,66 113,65 51,73 10,77 116,04 -0,11 0,01  6 28,83 5,92 9,56 31,97 35,05 91,39 1022,08 56,60 189,26 305,63 170,67 275,61 921,70 -12,13 147,12 30,36 -10,60 112,32 -1,53 2,35  7 55,76 6,53 22,72 33,93 42,64 516,20 1151,24 148,36 221,56 770,89 364,11 1266,87 1891,94 14,80 219,06 57,47 16,51 272,51 -1,71 2,91  8 34,11 6,57 12,36 35,38 43,16 152,77 1251,74 81,21 232,45 437,30 224,10 421,60 1206,81 -6,85 46,91 36,72 -4,24 18,01 -2,61 6,79  9 47,37 7,47 17,98 36,19 55,80 323,28 1309,72 134,31 270,34 650,70 353,85 851,71 1714,32 6,41 41,10 49,01 8,05 64,87 -1,64 2,70  10 42,29 7,72 15,36 36,87 59,60 235,93 1359,40 118,58 284,64 566,32 326,48 649,57 1559,23 1,33 1,77 44,04 3,08 9,47 -1,75 3,05  11 41,16 7,97 13,61 38,99 63,52 185,23 1520,22 108,47 310,75 530,65 328,05 560,19 1604,83 0,20 0,04 40,81 -0,15 0,02 0,35 0,13  12 32,06 8,3 18,14 40,91 68,89 329,06 1673,63 150,56 339,55 742,11 266,10 581,57 1311,57 -8,90 79,20 50,27 9,31 86,71 -18,21 331,65  13 35,91 8,54 11,34 41,41 72,93 128,60 1714,79 96,84 353,64 469,59 306,67 407,22 1487,03 -5,05 25,50 36,89 -4,07 16,54 -0,98 0,96  14 35,43 8,93 10,45 42,96 79,74 109,20 1845,56 93,32 383,63 448,93 316,39 370,24 1522,07 -5,53 30,57 35,55 -5,41 29,31 -0,12 0,01  15 71,33 8,9 29,26 44,14 79,21 856,15 1948,34 260,41 392,85 1291,54 634,84 2087,12 3148,51 30,37 922,38 73,27 32,31 1044,02 -1,94 3,77  cума 614,4 101 238 516 722,3 4190 18377,7 1637 3638,3 8313,9 4252,3 10612,3 21564,1 0,00 2216,4 659,39 45,00 1987,40 -45,00 499,00   Завдання побудувати кореляційну матрицю; Метод Фаррара-Глобера. Для дослідження загальної мультиколінеарності і мультиколінеарності між окремими факторами використовується кореляційна матриця R і обернена до неї матриця Z.
,
, (4.1) де
- коефіцієнт кореляції, Rij – алгебраїчні доповнення до відповідних елементів матриці R. Побудуємо кореляційну матрицю (R) за допомогою х1 та х2. матриця R  матриця Z (обернена до R)  1 0,23765 0,992010362  63,364 0,757 -63,048  0,23765008 1 0,250843687  0,757 1,076 -1,021  0,99201036 0,250844 1  -63,048 -1,021 63,800    Використовуючи χ2-критерій з надійністю 0.95 оцінити наявність загальної мультиколінеарності; Для дослідження загальної мультиколінеарності використовується (2. Для цього знаходимо визначник кореляційної матриці R і розраховуємо значення
, Отже, знайдемо det R. det R=0,015 n=15  m=3  
кр=7,8  k1=m=3  k2=n-m-1=11  k=3  
=-(15-1-(2*3+5)/6)ln(0,015)=51,27 Оскільки,
кр<
(2,201<51,27), то можна вважати, що із прийнятоню ймовірністю, існує загальна мультиколінеарність. якщо існує загальна мультиколінеарність, то використовуючи t-статистику з р=0,95 виявити пари факторів, між якими існує мультиколінеарність. Якщо такі пари існують, то один із факторів необхідно вилучити; Fkr=3,59  tkr=2,201   Для з’ясування питання, між якими факторами існує мультиколінеарність, використовується F– або t–статистика. Обчислення F-критеріїв
, (4.3) де
- діагональні елементи Z. F1= 228,7  F2= 0,279  F3= 230,3   Фактичні значення критеріїв порівнюємо з табличними при n-m-1 і m ступенях вільності і заданому рівні значущості
. Якщо
, то відповідна j-та незалежна змінна мультиколінеарна з іншими. F2= 0,279 <Fkr   Отже, можна зробити висновки про те, що 1 та 3 незалежні змінні мультиколінеарні з іншими. Для знаходження t–статистики між двома факторами спочатку знаходимо матрицю обернену до кореляційної, потім частинні коефіцієнти кореляції
, (4.4) де
- елементи матриці Z. r12= -0,09  r13= 0,992  r23= 0,123   Частинні коефіцієнти кореляції характеризують тісноту зв'язку між двома змінними за умови, що інші змінні не впливають на цей зв'язок. Для цих частинних коефіцієнтів знаходиться t – статистика
. t12= -0,31  t13= 25,43  t23= 0,412  Якщо
, то з надійністю р можна стверджувати, що між факторами хі і xj існує мультиколінеарність. Оскільки t13>tkr (25,43>2,201), то можна стверджувати що між х1 та х3 існує мультиколінеарність. Знайти оцінки параметрів багатофакторної моделі Для усунення мультиколінеарності потрібно замінити фактор xj на фактор
Якщо після заміни фактора має місце мультиколінеарність, то один із факторів виключають з розгляду. Заміна чи вилучення незалежних змінних завжди має узгоджуватись з економічною доцільністю, що випливає з мети дослідження. В загальному випадку багатофакторна лінійна регресія має вид
(4.6) де
- параметри моделі;
- незалежні змінні; u – випадкові величини (відхилення). Оцінку параметрів
знайдемо за допомогою МНК
(4.7) Згідно з необхідною умовою екстремуму функції багатьох змінних у точках екстремуму
частинні похідні дорівнюють нулю. Знаходячи частинні похідні та прирівнюючи їх до нуля, отримаємо
. (4.8) Розв'язавши таку систему, отримаємо оцінки параметрів
. Оцінки параметрів
можна знайти також за формулою
, (4.9) де
- вектор спостережуваних даних показника;
- матриця спостережуваних значень факторів хі, і=1, m, х0 – фіктивний фактор, всі значення якого дорівнюють 1;
- вектор оцінюваних параметрів. Отже знайдемо матрицю Х. матриця х  1 3,98 10,11  1 4,49 12,5  1 4,82 18,61  1 5,23 15,78  1 5,93 20,2  1 5,92 9,56  1 6,53 22,72  1 6,57 12,36  1 7,47 17,98  1 7,72 15,36  1 7,97 13,61  1 8,3 18,14  1 8,54 11,34  1 8,93 10,45  1 8,9 29,26  Знайдемо транспоновану матрицю Х. транспонована матриця х  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1  3,98 4,49 4,82 5,23 5,93 5,92 6,53 6,57 7,47 7,72 7,97 8,3 8,54 8,93 8,9  10,11 12,5 18,6 15,78 20,2 9,56 22,72 12,36 17,98 15,36 13,61 18,14 11,34 10,45 29,26   Знайдемо
матриця хт*х  15 101 238  101,3 722 1637  238 1637 4190  Знайдемо

 1,548 -0,2 -0,03  -0,16 0,03 -0  -0,03 -0 0  Зайдемо матрицю У матриця у  614,39  4252,269  10612,33  Знайдемо параметри за допомогою формули
. а0= 1,489  а1= 1,129  а2= 2,007  а3= 0  У=1,489+1,129*х1+2,007*х2+3 оцінити щільність зв’язку між результативною і факторними ознаками за допомогою коефіцієнта детермінації;
Де у сер.=614,4/15=40,96.
=1987,40/2216=0,897. Можна стверджувати, що між факторами існує щільний зв'язок. перевірити адекватність побудованої моделі (критерії Фішера); Адекватність побудованої моделі статистичним даним генеральної сукупності можна перевірити за допомогою F-критерію (критерію Фішера):
, (4.10) де
- коефіцієнт детермінації; n – кількість спостережень; m – незалежних змінних у рівнянні регресії;
- ступені вільності. F=
Оскільки Fkr=3,59 і F> Fkr, то можна стверджувати, що побудована модель адекватна статистичним даним генеральної сукупності. знайти прогнозне значення (y16) та інтервали довіри для прогнозу; х1прог.=1, х2прог.=9, х3прог.=30+0,01*16=30,16. Упрог.=1,489+1,129*9+2,007*30,16+3=75,19. Інтервал довіри знаходять
, (4.12)
, (4.13)
, (4.14) де t – значення t-критерію при ймовірності р і n-m-1 ступенях вільності;
- середньоквадратичне відхилення залишків;
- матриця спостережуваних значень факторів;
- вектор прогнозних значень. Знайдемо

Знайдемо
.
 1 9 30,16  Знайдемо

 -0,6702212 0,03372 0,032092789  Знайдемо
=0,6 Знайдемо
:
Отже, маємо інтервал довіри 56,43<y<93.95. визначити частинні коефіцієнти еластичності для прогнозу. Важливе значення для аналізу мають частинні коефіцієнти еластичності. Для багатофакторної регресії частинний коефіцієнт еластичності показує, на скільки відсотків зміниться показник, якщо один із факторів зміниться на один відсоток при незмінних значеннях інших факторів. Частинний коефіцієнт еластичності для фактора
обчислюється за формулою
(4.15) Частинний коефіцієнт еластичності показує, як змінюється показник у, якщо фактор
змінюється на 1 % при незмінних значеннях інших факторів. Аналогічно отримаємо для інших факторів. Ex1=a1=1,129 Ex2=a2=2,007. Отже, частинний коефіцієнт показує, що із збільшенням х1 на 1%, у збільшується на 1,129% при незмінних інших; і при збільшенні х2 на 1% у збільшується на 2,007%.