Міністерство освіти і науки України Національний університет “Львівська політехніка” Інститут прикладної математики і фундаментальних наук Кафедра прикладної математики Розрахункова робота з теорії керування на тему: “Дослідження функціонування нелінійних систем” Завдання 1 Дослідити автоколивання в системі
, яка задана
списком:
, (1.1)  де
— суматор,
— нелінійний елемент,
та
— лінійні підсистеми, які задані
списками
та
:
, (1.2)  де
,

;
,
,

, (1.3)  де
,
,
;
,
,
. Нелінійність
задана у списку нелінійностей під номером 19, причому,
,
,
. / Розв’язання Опис лінійної частини в цілому. Структурну схему системи
, яку задано
списком (1.1), зображено на рис. 1. / Риc. 1 Структурна схема системи
Побудуємо структурні схеми підсистем
(рис. 2) та
(рис. 3), які задані
списками (1.2) та (1.3): / 
 Рис. 2 Структурна схема підсистеми
Рис. 3 Структурна схема підсистеми
  Передавальні функції підсистем
та
мають такий вигляд:
(1.4)  
. (1.5)  Система
складається з лінійної частини (її передавальну функцію позначимо через
) та нелінійної частини, яка описується функцією
. З рис. 1 видно, що передавальна функція лінійної частини є добутком передавальних функцій підсистем
та
:
. (1.6)  Тоді, врахувавши що
та зробивши обернене лапласове перетворення, отримуємо таке диференціальне рівняння лінійної частини:
, (1.7)  де
— диференціальний оператор (
). Опис системи
в цілому. Враховуючи, що
(це видно із рис. 1), запишемо рівняння системи
в цілому:
. (1.8)  Лінеаризація нелінійності. Згідно з методом гармонічної лінеаризації, лінеаризовану нелінійність можна представити так:
, де
. Оскільки нелінійність однозначна та непарносиметрична, то
,
. У випадку
(див. рис. 4) коефіцієнт
є таким:
. Окільки задано, що
, то лінеаризована нелінійність набуває такого вигляду:
. 4. Опис лінеаризованої системи
в цілому:
. (1.9)   5. Характеристичне рівняння системи:
. (1.10)   6. Визначення параметрів періодичного розв’язку. Підставивши в це характеристичне рівняння значення
, яке відповідає періодичному розв’язку, отримуємо таке рівняння:
. Відокремивши дійсну та уявну частини цього рівняння, отримуємо систему двох рівнянь для невідомих
та
:
, (1.11)  
. (1.12)  З рівняння (1.12) знаходимо частоту автоколивань:
та підставляємо її у рівняння (1.11), з якого знаходимо:
. Амплітуду автоколивань
можна знайти графічно (див. рис. 7). Для цього будуємо графік функції
(яка була знайдена нами при лінеаризації нелінійності) та пряму
(штрихова горизонтальна лінія), абсцисою точки перетину цих ліній є шукана амплітуда
. Як бачимо графік
і
не перетинаються. Отже в системі немає автоколивань. 7. Відповідь. В системі відсутні автоколивання. Завдання 2 Оцінити стійкість тривіального розв’язку системи:
. (2.1)  Розв’язання Передбачувана функція Ляпунова з неозначеними коефіцієнтами:
. (2.2)  Визначення коефіцієнтів
та
так, щоб виконувалась умова:
. (2.3)  
Для того, щоб виконувалась умова (2.3) необхідно щоб коефіцієнти
та
задовольняли таким умовам:
Нехай
, тоді
і функція
є такою:
. (2.4)   Перевірка виконання інших умов:
— функція лише координат системи
та
,
, якщо
, функція
є знаковизначеною (додатна), тобто
, якщо
та
. функція
є неперервною по своїх аргументах та має неперервні перші частинні похідні. Відповідь. Тривіальний розв’язок системи (2.1) асимптотично стійкий, функція (2.4) є функцією Ляпунов