Міністерство освіти і науки України Національний університет „Львівська політехніка” Кафедра ЕОМ Звіт до розрахункової роботи з дисципліни: “ Методи та засоби опрацювання сигналів ” на тему: “Дослідження дискретного перетворення Фур’є та його властивостей” Варіант 12 Перевірив: ст. викладач Лашко О.Л. Львів 2018 Мета: Освоїти методику обчислення спектральних характеристик сигналу за допомогою перетворення Фур’є та дослідити його властивості. Теоретичні відомості Одним з основних методів частотного аналізу й обробки сигналів є перетворення Фур’є. Розрізняють поняття “перетворення Фур’є” і “ряд Фур’є”. Перетворення Фур’є припускає неперервний розподіл частот, ряд Фур’є задається на дискретному наборі частот. Сигнали також можуть бути задані в наборі часових відліків або як неперервна функція часу. Це дає чотири варіанти перетворень перетворення Фур’є з неперервним або з дискретним часом (частота - неперервна); ряд Фур’є з неперервним часом або з дискретним часом (частота - дискретна). Інтегральне перетворення Фур’є (ПФ). Пряме перетворення (Фур’є- аналіз) :
або:
Обернене перетворення (Фур’є- синтез) :
або:
Дискретне перетворення Фур’є(ДПФ) Пряме:
для
; де :
. Обернене:
для
ЗАВДАННЯ Отримати аналітичні вирази для знаходження частотного спектру заданого варіантом сигналу (рівність (2)). Обрахувати 256 спектральних коефіцієнтів та привести таблицю їх значень. Привести графік зміни спектру для заданої кількості коефіцієнтів. Порівняти (в табличному та графічному вигляді) отримані значення з результатами, обрахованими в лабораторній роботі №3. Пояснити різницю між коефіцієнтами ряду Фур’є та дискретного перетворення Фур’є. Відтворити вхідну послідовність за допомогою наближення рядом Фур’є (рівність (1)) для 256 коефіцієнтів та привести її графік. Порівняти вхідну та наближену послідовності. Обрахувати амплітудну, фазову характеристики та привести їх графіки. Знайти енергію сигналу за формулою Парсеваля. Здійснити операцію інверсії спектру. За допомогою оберненого ПФ знайти сигнал, що відповідає оберненому спектру та порівняти його із заданим. Пояснити характер змін. Зробити висновки про спектральні характеристики заданого сигналу. Порядок виконання роботи Сигнал задано наступним чином:
Аналітичні вирази для знаходження частотного спектру заданого варіантом сигналу: Виходячи із заданого графіка, сигнал описується фінітною функцією, тривалістю 14с. Переносимо від’ємну частину сигналу в додатню область (періодичність). Перші 7с. сигнал змінюється лінійно від 0 до 7, тобто функція, що його описує відповідає рівнянню x=kt+b. Для знаходження коефіцієнтів слід розв’язати систему:


Тобто рівняння прямої для заданого часового проміжку становить:
Наступні 7с. – амплітуда змінюється також лінійно від 7 до 14. Для знаходження коефіцієнтів слід розв’язати систему:



Таким чином, маємо кускову функцію, що описує заданий сигнал:
Для знаходження частотного спектру слід підставити аналітичний вираз вхідного сигналу у формулу:
, де
- основна гармоніка, де Т=14. Виходячи з завдання, маємо: T=14;
.
Нехай
, тоді

256 спектральних коефіцієнтів, таблиця значень: Для знаходження спектральних характеристик в дискретних точках слід створити програму для виконання у SCILAB, використавши отримані аналітичні вирази. Текст програми приведено нижче. Таблиця значень спектральних коефіцієнтів. № Значення № Значення № Значення    0. 87.  4.570D-16 - 0.0259089i   4.570D-16 - 0.0129545i    -1.269D-16 + 2.2281692i   -7.278D-16 + 0.0256111i   -5.932D-16 + 0.0128796i    2.715D-16 - 1.1140846i   9.925D-16 - 0.0253201i   7.278D-16 - 0.0128056i    -2.696D-16 + 0.7427231i   1.718D-16 + 0.0250356i   -8.609D-16 + 0.0127324i    2.740D-16 - 0.5570423i   -0.0247574i   9.925D-16 - 0.0126601i    -2.736D-16 + 0.4456338i   -3.599D-16 + 0.0244854i   3.085D-16 + 0.0125885i    2.726D-16 - 0.3713615i   6.170D-16 - 0.0242192i   -1.718D-16 - 0.0125178i    -2.736D-16 + 0.3183099i   -8.687D-16 + 0.0239588i   0.0124479i    2.727D-16 - 0.2785212i   -2.324D-16 - 0.0237039i   -0.0123787i    -2.736D-16 + 0.2475744i   0.0234544i   -2.291D-16 + 0.0123103i    2.727D-16 - 0.2228169i   2.729D-16 - 0.0232101i   3.599D-16 - 0.0122427i    -9.923D-16 + 0.2025608i   -5.177D-16 + 0.0229708i   -4.892D-16 + 0.0121758i    2.729D-16 - 0.1856808i   7.575D-16 - 0.0227364i   6.170D-16 - 0.0121096i    3.365D-16 + 0.1713976i   2.868D-16 + 0.0225068i   -7.436D-16 + 0.0120442i    2.729D-16 - 0.1591549i   -0.0222817i   8.687D-16 - 0.0119794i    -8.005D-16 + 0.1485446i   -1.945D-16 + 0.0220611i   3.621D-16 + 0.0119153i    2.729D-16 - 0.1392606i   4.281D-16 - 0.0218448i   -2.324D-16 - 0.011852i    1.928D-16 + 0.1310688i   -6.571D-16 + 0.0216327i   0.0117893i    2.728D-16 - 0.1237872i   -3.361D-16 - 0.0214247i   -0.0117272i    -6.899D-16 + 0.1172721i   0.0212207i   -1.485D-16 + 0.0116658i    2.729D-16 - 0.1114085i   1.235D-16 - 0.0210205i   2.729D-16 - 0.011605i    0.1061033i   -3.469D-16 + 0.020824i   -3.959D-16 + 0.0115449i    9.925D-16 - 0.1012804i   5.661D-16 - 0.0206312i   5.177D-16 - 0.0114854i    -6.173D-16 + 0.0968769i   -7.812D-16 + 0.0204419i   -6.382D-16 + 0.0114265i    2.729D-16 - 0.0928404i   -1.589D-16 - 0.0202561i   7.575D-16 - 0.0113682i    0.0891268i   0.0200736i   -8.756D-16 + 0.0113105i    -3.360D-16 - 0.0856988i   2.729D-16 - 0.0198944i   -2.868D-16 - 0.0112534i    -5.660D-16 + 0.0825248i   -4.830D-16 + 0.0197183i   1.647D-16 + 0.0111968i    2.729D-16 - 0.0795775i   6.895D-16 - 0.0195453i   -0.0111408i    0.0768334i   2.090D-16 + 0.0193754i   0.0110854i    8.006D-16 - 0.0742723i   -0.0192084i   1.945D-16 - 0.0110305i    -5.281D-16 + 0.0718764i   -2.052D-16 + 0.0190442i   -3.119D-16 + 0.0109762i    2.729D-16 - 0.0696303i   4.070D-16 - 0.0188828i   4.281D-16 - 0.0109224i    0.0675203i   -6.055D-16 + 0.0187241i   -5.432D-16 + 0.0108691i    -1.928D-16 - 0.0655344i   8.006D-16 - 0.0185681i   6.571D-16 - 0.0108164i    -4.990D-16 + 0.063662i   0.0184146i   -7.700D-16 + 0.0107641i    2.729D-16 - 0.0618936i   1.431D-16 - 0.0182637i   -3.361D-16 - 0.0107124i    0.0602208i   -3.372D-16 + 0.0181152i   2.195D-16 + 0.0106611i    6.895D-16 - 0.058636i   5.282D-16 - 0.0179691i   -0.0106103i    -4.758D-16 + 0.0571325i   -7.162D-16 + 0.0178254i   0.01056i    2.729D-16 - 0.0557042i   -0.0176839i   1.235D-16 - 0.0105102i    -8.521D-16 + 0.0543456i   0.0175446i   -2.357D-16 + 0.0104609i    -0.0530516i   2.729D-16 - 0.0174076i   3.469D-16 - 0.010412i    -4.570D-16 + 0.0518179i   -4.570D-16 + 0.0172726i   -4.570D-16 + 0.0103636i    9.925D-16 - 0.0506402i   6.382D-16 - 0.0171398i   5.661D-16 - 0.0103156i    0.0495149i   1.501D-16 + 0.0170089i   -6.741D-16 + 0.0102681i    6.170D-16 - 0.0484385i   -0.0168801i   7.812D-16 - 0.010221i    2.324D-16 + 0.0474079i   -2.134D-16 + 0.0167532i   2.693D-16 + 0.0101743i    2.729D-16 - 0.0464202i   3.910D-16 - 0.0166281i   -1.589D-16 - 0.010128i    -7.575D-16 + 0.0454728i   -5.661D-16 + 0.016505i   0.0100822i    -0.0445634i   -1.928D-16 - 0.0163836i   -0.0100368i    -4.281D-16 + 0.0436896i   0.016264i   -1.664D-16 + 0.0099918i    -3.361D-16 - 0.0428494i   1.581D-16 - 0.0161462i   2.729D-16 - 0.0099472i    -1.235D-16 + 0.0420409i   -3.298D-16 + 0.01603i   -3.784D-16 + 0.009903i    5.661D-16 - 0.0412624i   4.990D-16 - 0.0159155i   4.830D-16 - 0.0098592i    1.589D-16 + 0.0405122i   -6.659D-16 + 0.0158026i   -5.867D-16 + 0.0098157i    2.729D-16 - 0.0397887i   -0.0156913i   6.895D-16 - 0.0097727i    -6.895D-16 + 0.0390907i   0.0155816i   -7.914D-16 + 0.00973i    -0.0384167i   2.729D-16 - 0.0154734i   -2.090D-16 - 0.0096877i    -4.070D-16 + 0.0377656i   -4.366D-16 + 0.0153667i   0.0096458i    8.006D-16 - 0.0371362i   5.982D-16 - 0.0152614i   -0.0096042i    -1.431D-16 + 0.0365274i   0.0151576i   0.009563i    5.282D-16 - 0.0359382i   -0.0150552i   2.052D-16 - 0.0095221i    0.0353678i   -2.197D-16 + 0.0149542i   -3.066D-16 + 0.0094816i    2.729D-16 - 0.0348151i   3.784D-16 - 0.0148545i   4.070D-16 - 0.0094414i    -6.383D-16 + 0.0342795i   -5.350D-16 + 0.0147561i   -5.067D-16 + 0.0094016i    -0.0337601i   6.895D-16 - 0.014659i   6.055D-16 - 0.0093621i    -3.910D-16 + 0.0332563i   0.0145632i   -7.035D-16 + 0.0093229i    -1.928D-16 - 0.0327672i   1.701D-16 - 0.0144686i   8.006D-16 - 0.009284i    -1.581D-16 + 0.0322923i   -3.239D-16 + 0.0143753i   1.541D-16 + 0.0092455i    4.990D-16 - 0.031831i   4.758D-16 - 0.0142831i   -0.0092073i    0.0313827i   -6.258D-16 + 0.0141922i   0.0091694i    2.729D-16 - 0.0309468i   -0.0141023i   1.431D-16 - 0.0091318i    -5.982D-16 + 0.0305229i   -1.235D-16 + 0.0140136i   -2.406D-16 + 0.0090946i    -0.0301104i   2.729D-16 - 0.0139261i   3.372D-16 - 0.0090576i    -3.784D-16 + 0.0297089i   -4.204D-16 + 0.0138396i   -4.331D-16 + 0.0090209i    6.895D-16 - 0.029318i   5.661D-16 - 0.0137541i   5.282D-16 - 0.0089846i    -1.701D-16 + 0.0289373i   -7.100D-16 + 0.0136697i   -6.226D-16 + 0.0089485i    4.758D-16 - 0.0285663i   8.521D-16 - 0.0135864i   7.162D-16 - 0.0089127i    0.0282047i   -9.925D-16 + 0.0135041i   2.002D-16 + 0.0088772i    2.729D-16 - 0.0278521i   -3.947D-16 - 0.0134227i   -0.0088419i    -5.661D-16 + 0.0275083i   2.485D-16 + 0.0133423i   0.008807i    8.521D-16 - 0.0271728i   -0.0132629i   -0.0087723i    3.947D-16 + 0.0268454i   0.0131844i   -1.797D-16 + 0.0087379i    -0.0265258i   1.797D-16 - 0.0131069i      -1.797D-16 + 0.0262138i   -3.192D-16 + 0.0130302i     Графік зміни спектру для заданої кількості коефіцієнтів: На рисунку приведено графіки дійсної та уявної частини комплексного частотного спектру заданого сигналу.
Рис.1. Графіки зміни спектру Отримані результати, обраховані в лабораторній роботі №3: Таблиця значень спектральних коефіцієнтів. № Значення № Значення № Значення    0.0273438 87.  0.0273437 + 0.01549i   0.0273437 - 0.0163892i    -0.0273438 - 2.2280573i   -0.0273438 - 0.0150498i   -0.0273437 + 0.0168487i    0.0273438 + 1.1138609i   0.0273437 + 0.0146155i   0.0273438 - 0.0173152i    -0.0273437 - 0.7423875i   -0.0273437 - 0.0141869i   -0.0273437 + 0.0177891i    0.0273438 + 0.5565948i   0.0273438 + 0.0137637i   0.0273438 - 0.0182705i    -0.0273438 - 0.4450744i   -0.0273437 - 0.0133457i   -0.0273438 + 0.0187599i    0.0273437 + 0.3706902i   0.0273437 + 0.0129326i   0.0273438 - 0.0192576i    -0.0273438 - 0.3175265i   -0.0273437 - 0.0125244i   -0.0273438 + 0.019764i    0.0273438 + 0.2776258i   0.0273437 + 0.0121207i   0.0273438 - 0.0202795i    -0.0273438 - 0.2465669i   -0.0273438 - 0.0117213i   -0.0273438 + 0.0208044i    0.0273438 + 0.2216973i   0.0273437 + 0.0113262i   0.0273437 - 0.0213393i    -0.0273437 - 0.201329i   -0.0273438 - 0.010935i   -0.0273438 + 0.0218844i    0.0273438 + 0.1843366i   0.0273438 + 0.0105476i   0.0273437 - 0.0224404i    -0.0273438 - 0.1699411i   -0.0273437 - 0.010164i   -0.0273437 + 0.0230077i    0.0273437 + 0.1575859i   0.0273438 + 0.0097838i   0.0273437 - 0.0235869i    -0.0273437 - 0.146863i   -0.0273438 - 0.0094069i   -0.0273437 + 0.0241784i    0.0273438 + 0.1374663i   0.0273438 + 0.0090332i   0.0273437 - 0.0247829i    -0.0273437 - 0.1291617i   -0.0273438 - 0.0086625i   -0.0273438 + 0.025401i    0.0273437 + 0.1217672i   0.0273437 + 0.0082946i   0.0273437 - 0.0260334i    -0.0273437 - 0.1151391i   -0.0273437 - 0.0079295i   -0.0273438 + 0.0266807i    0.0273437 + 0.1091624i   0.0273437 + 0.007567i   0.0273438 - 0.0273438i    -0.0273438 - 0.1037439i   -0.0273437 - 0.007207i   -0.0273437 + 0.0280232i    0.0273437 + 0.0988076i   0.0273438 + 0.0068493i   0.0273438 - 0.02872i    -0.0273437 - 0.0942905i   -0.0273438 - 0.0064937i   -0.0273437 + 0.029435i    0.0273438 + 0.0901403i   0.0273438 + 0.0061402i   0.0273437 - 0.0301692i    -0.0273438 - 0.0863127i   -0.0273438 - 0.0057887i   -0.0273437 + 0.0309235i    0.0273437 + 0.0827707i   0.0273438 + 0.005439i   0.0273437 - 0.031699i    -0.0273438 - 0.0794824i   -0.0273438 - 0.005091i   -0.0273438 + 0.0324969i    0.0273438 + 0.0764207i   0.0273438 + 0.0047446i   0.0273438 - 0.0333185i    -0.0273437 - 0.073562i   -0.0273438 - 0.0043996i   -0.0273437 + 0.0341649i    0.0273438 + 0.070886i   0.0273437 + 0.0040561i   0.0273438 - 0.0350378i    -0.0273438 - 0.0683751i   -0.0273438 - 0.0037137i   -0.0273438 + 0.0359385i    0.0273438 + 0.0660137i   0.0273437 + 0.0033725i   0.0273437 - 0.0368688i    -0.0273438 - 0.0637881i   -0.0273437 - 0.0030324i   -0.0273438 + 0.0378304i    0.0273437 + 0.0616865i   0.0273438 + 0.0026931i   0.0273437 - 0.0388251i    -0.0273437 - 0.0596981i   -0.0273438 - 0.0023547i   -0.0273438 + 0.0398552i    0.0273438 + 0.0578135i   0.0273437 + 0.002017i   0.0273438 - 0.0409228i    -0.0273437 - 0.0560242i   -0.0273438 - 0.0016799i   -0.0273437 + 0.0420304i    0.0273438 + 0.0543227i   0.0273437 + 0.0013433i   0.0273438 - 0.0431805i    -0.0273438 - 0.0527022i   -0.0273437 - 0.0010071i   -0.0273437 + 0.0443761i    0.0273438 + 0.0511566i   0.0273438 + 0.0006713i   0.0273438 - 0.0456203i    -0.0273437 - 0.0496803i   -0.0273437 - 0.0003356i   -0.0273438 + 0.0469165i    0.0273438 + 0.0482685i   0.0273438   0.0273438 - 0.0482685i    -0.0273438 - 0.0469165i   -0.0273437 + 0.0003356i   -0.0273437 + 0.0496803i    0.0273438 + 0.0456203i   0.0273438 - 0.0006713i   0.0273438 - 0.0511566i    -0.0273437 - 0.0443761i   -0.0273437 + 0.0010071i   -0.0273438 + 0.0527022i    0.0273438 + 0.0431805i   0.0273437 - 0.0013433i   0.0273438 - 0.0543227i    -0.0273437 - 0.0420304i   -0.0273438 + 0.0016799i   -0.0273437 + 0.0560242i    0.0273438 + 0.0409228i   0.0273437 - 0.002017i   0.0273438 - 0.0578135i    -0.0273438 - 0.0398552i   -0.0273438 + 0.0023547i   -0.0273437 + 0.0596981i    0.0273437 + 0.0388251i   0.0273438 - 0.0026931i   0.0273437 - 0.0616865i    -0.0273438 - 0.0378304i   -0.0273437 + 0.0030324i   -0.0273438 + 0.0637881i    0.0273437 + 0.0368688i   0.0273437 - 0.0033725i   0.0273438 - 0.0660137i    -0.0273438 - 0.0359385i   -0.0273438 + 0.0037137i   -0.0273438 + 0.0683751i    0.0273438 + 0.0350378i   0.0273437 - 0.0040561i   0.0273438 - 0.070886i    -0.0273437 - 0.0341649i   -0.0273438 + 0.0043996i   -0.0273437 + 0.073562i    0.0273438 + 0.0333185i   0.0273438 - 0.0047446i   0.0273438 - 0.0764207i    -0.0273438 - 0.0324969i   -0.0273438 + 0.005091i   -0.0273438 + 0.0794824i    0.0273437 + 0.031699i   0.0273438 - 0.005439i   0.0273437 - 0.0827707i    -0.0273437 - 0.0309235i   -0.0273438 + 0.0057887i   -0.0273438 + 0.0863127i    0.0273437 + 0.0301692i   0.0273438 - 0.0061402i   0.0273438 - 0.0901403i    -0.0273437 - 0.029435i   -0.0273438 + 0.0064937i   -0.0273437 + 0.0942905i    0.0273438 + 0.02872i   0.0273438 - 0.0068493i   0.0273437 - 0.0988076i    -0.0273437 - 0.0280232i   -0.0273437 + 0.007207i   -0.0273438 + 0.1037439i    0.0273438 + 0.0273438i   0.0273437 - 0.007567i   0.0273437 - 0.1091624i    -0.0273438 - 0.0266807i   -0.0273437 + 0.0079295i   -0.0273437 + 0.1151391i    0.0273437 + 0.0260334i   0.0273437 - 0.0082946i   0.0273437 - 0.1217672i    -0.0273438 - 0.025401i   -0.0273438 + 0.0086625i   -0.0273437 + 0.1291617i    0.0273437 + 0.0247829i   0.0273438 - 0.0090332i   0.0273438 - 0.1374663i    -0.0273437 - 0.0241784i   -0.0273438 + 0.0094069i   -0.0273437 + 0.146863i    0.0273437 + 0.0235869i   0.0273438 - 0.0097838i   0.0273437 - 0.1575859i    -0.0273437 - 0.0230077i   -0.0273437 + 0.010164i   -0.0273438 + 0.1699411i    0.0273437 + 0.0224404i   0.0273438 - 0.0105476i   0.0273438 - 0.1843366i    -0.0273438 - 0.0218844i   -0.0273438 + 0.010935i   -0.0273437 + 0.201329i    0.0273437 + 0.0213393i   0.0273437 - 0.0113262i   0.0273438 - 0.2216973i    -0.0273438 - 0.0208044i   -0.0273438 + 0.0117213i   -0.0273438 + 0.2465669i    0.0273438 + 0.0202795i   0.0273437 - 0.0121207i   0.0273438 - 0.2776258i    -0.0273438 - 0.019764i   -0.0273437 + 0.0125244i   -0.0273438 + 0.3175265i    0.0273438 + 0.0192576i   0.0273437 - 0.0129326i   0.0273437 - 0.3706902i    -0.0273438 - 0.0187599i   -0.0273437 + 0.0133457i   -0.0273438 + 0.4450744i    0.0273438 + 0.0182705i   0.0273438 - 0.0137637i   0.0273438 - 0.5565948i    -0.0273437 - 0.0177891i   -0.0273437 + 0.0141869i   -0.0273437 + 0.7423875i    0.0273438 + 0.0173152i   0.0273437 - 0.0146155i   0.0273438 - 1.1138609i    -0.0273437 - 0.0168487i   -0.0273438 + 0.0150498i   -0.0273438 + 2.2280573i    0.0273437 + 0.0163892i   0.0273437 - 0.01549i      -0.0273438 - 0.0159364i   -0.0273438 + 0.0159364i     На рисунках приведено графіки дійсних та уявних частин спектру заданого сигналу.
Рис.2. Порівняння реальних частин
Рис.3. Порівняння уявних частин Різниця між коефіцієнтами ряду Фур’є та дискретного перетворення Фур’є: Різниця між коефіцієнтами ряду Фур’є та дискретного перетворення Фур’є, зумовлена наступним: Нехай
,
. Тобто, пряме ДПФ наближає (за формулою чисельного інтегрування прямокутників) коефіцієнти розкладу сигналу в ряд Фур'є:
,
. При збільшенні
, зменшенні
, похибка (методу) такого представлення зменшується. Подібне має місце і при оберненому перетворенні, тобто наближенні сигналу відрізком ряду Фур'є, коли обмежуються границі підсумування в формулі (1). Вхідна послідовність за допомогою наближення рядом Фур’є для 256 коефіцієнтів та її графік: Таблиця вхідної послідовності отриманої за допомогою наближення рядом Фур’є. № Значення № Значення № Значення    1.633D-15 87. -2.3513753   2.2973207    -0.0275048   -2.3783819   2.2702737    -0.0550094   -2.4053738   2.2432143    -0.0825138   -2.4323502   2.2161429    -0.1100177   -2.4593105   2.1890599    -0.137521   -2.4862536   2.1619657    -0.1650236   -2.5131786   2.1348606    -0.1925253   -2.5400843   2.1077449    -0.2200261   -2.5669696   2.0806189    -0.2475256   -2.593833   2.053483    -0.2750239   -2.6206728   2.0263372    -0.3025207   -2.6474873   1.9991819    -0.3300159   -2.6742743   1.9720173    -0.3575095   -2.7010316   1.9448436    -0.3850011   -2.7277564   1.9176609    -0.4124907   -2.7544455   1.8904694    -0.4399782   -2.7810953   1.8632694    -0.4674634   -2.8077017   1.8360608    -0.4949462   -2.8342596   1.808844    -0.5224264   -2.8607632   1.7816191    -0.5499039   -2.8872057   1.7543861    -0.5773786   -2.9135787   1.7271452    -0.6048504   -2.9398725   1.6998966    -0.632319   -2.9660751   1.6726403    -0.6597844   -2.9921717   1.6453766    -0.6872465   -3.0181441   1.6181054    -0.714705   -3.0439698   1.5908269    -0.74216   -3.0696198   1.5635413    -0.7696112   -3.0950572   1.5362486    -0.7970585   -3.1202334   1.5089489    -0.8245018   -3.1450838   1.4816423    -0.8519411   -3.1695202   1.4543291    -0.879376   -3.1934193   1.4270091    -0.9068067   -3.216603   1.3996826    -0.9342328   -3.2388041   1.3723497    -0.9616544   -3.2596037   1.3450105    -0.9890712   -3.2783049   1.317665    -1.0164832   -3.2936571   1.2903134    -1.0438903   -3.3031723   1.2629557    -1.0712923   -3.3011015   1.2355921    -1.0986892   -3.2705645   1.2082228    -1.1260808   -3.1327702   1.1808477    -1.153467   -1.099D-15   1.153467    -1.1808477   3.1327702   1.1260808    -1.2082228   3.2705645   1.0986892    -1.2355921   3.3011015   1.0712923    -1.2629557   3.3031723   1.0438903    -1.2903134   3.2936571   1.0164832    -1.317665   3.2783049   0.9890712    -1.3450105   3.2596037   0.9616544    -1.3723497   3.2388041   0.9342328    -1.3996826   3.216603   0.9068067    -1.4270091   3.1934193   0.879376    -1.4543291   3.1695202   0.8519411    -1.4816423   3.1450838   0.8245018    -1.5089489   3.1202334   0.7970585    -1.5362486   3.0950572   0.7696112    -1.5635413   3.0696198   0.74216    -1.5908269   3.0439698   0.714705    -1.6181054   3.0181441   0.6872465    -1.6453766   2.9921717   0.6597844    -1.6726403   2.9660751   0.632319    -1.6998966   2.9398725   0.6048504    -1.7271452   2.9135787   0.5773786    -1.7543861   2.8872057   0.5499039    -1.7816191   2.8607632   0.5224264    -1.808844   2.8342596   0.4949462    -1.8360608   2.8077017   0.4674634    -1.8632694   2.7810953   0.4399782    -1.8904694   2.7544455   0.4124907    -1.9176609   2.7277564   0.3850011    -1.9448436   2.7010316   0.3575095    -1.9720173   2.6742743   0.3300159    -1.9991819   2.6474873   0.3025207    -2.0263372   2.6206728   0.2750239    -2.053483   2.593833   0.2475256    -2.0806189   2.5669696   0.2200261    -2.1077449   2.5400843   0.1925253    -2.1348606   2.5131786   0.1650236    -2.1619657   2.4862536   0.137521    -2.1890599   2.4593105   0.1100177    -2.2161429   2.4323502   0.0825138    -2.2432143   2.4053738   0.0550094    -2.2702737   2.3783819   0.0275048    -2.2973207   2.3513753      -2.3243547   2.3243547     Порівняння вхідної та наближеної послідовностей.
Амплітудна та фазова характеристики та їх графіки:
Енергія сигналу за формулою Парсеваля: Під теоремою Парсеваля звичайно розуміють унітарність перетворення Фур'є. Тобто сума (або інтеграл) квадрата функції дорівнює (дорівнює) сумі (або інтегралу) квадрата результату перетворення. Слід зауважити, що загальний вигляд теореми Парсеваля часто називають теоремою Планшереля або Узагальненої формулою Релея. Теорема була доведена для рядів Марком-Антуаном Парсевалем в 1799 і була пізніше застосована до ряду Фур'є. Запис теореми має вигляд:
де 
 позначає неперервне перетворення Фур'є, яке пов'язує часовий або просторовий сигнал 
 з його поданням в частотній області 
 . У дискретному вигляді теорему записують таким чином:
, де 
 являє собою дискретне перетворення Фур'є сигналу 
 , що має N відліків. Теорема Парсеваля встановлює рівність між енергією сигналу і енергією його спектру. Знайдемо енергію сигналу за формулою Парсеваля.
Операція інверсії спектру:
ОПФ шуканого сигналу, що відповідає оберненому спектру та порівняня його із заданим:
Значення інвертованого відтвореного сигналу:
Рис.8. Перші 6 значень інвертованого відтвореного сигналу.