МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА» ІКТА кафедра БІТ Звіт про виконання лабораторної роботи №3 з курсу: «Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем» на тему: «ІТЕРАЦІЙНІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ СИСТЕМ ЛІНІЙНИХ АЛГЕБРАЇЧНИХ РІВНЯНЬ» Мета роботи – ознайомлення з ітераційними методами розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. 1.Короткі теоретичні відомості Метод Зейделя Задано систему лінійних алгебраїчних рівнянь, що зведена до нормального вигляду.
. Тоді за методом Зейделя, вибираючи вектор початкових наближень
(як правило, це стовпець вільних членів
), уточнення значень невідомих проводять наступним чином: 1) перше наближення:
2) k + 1 наближення
k = 0, 1, 2, … . Таким чином ітераційний процес подібний до методу простих ітерацій, однак уточнені значення
одразу ж підставляються в наступні рівняння:
– формула методу Зейделя. Іншими словами, метод Зейделя відрізняється від методу простої ітерації тим, що при обчисленні
на “k+1”-му кроці враховуються значення
,
,

, обчислені на цьому самому кроці. З метою економії пам’яті при програмуванні методу Зейделя недоцільно напряму застосовувати подану формулу методу. На відміну від методу простої ітерації в методі Зейделя немає необхідності зберігати в пам’яті повністю вектор попередніх наближень розв’язку. Можна застосовувати один вектор, в якому будуть зберігатися останні наближення розв’язків. При цьому для контролю умови завершення ітераційного процесу по кожному з розв’язків можна застосовувати одну й ту саму допоміжну змінну для тимчасового зберігання попереднього наближення чергового розв’язку. Слід сподіватись, що ітерації за методом Зейделя дадуть при тому ж числі кроків більш точні результати, ніж за методом простої ітерації. Або така ж точність буде досягнута за менше число кроків, оскільки чергові значення невідомих визначаються тут більш точно ітераційний процес припиняється. Наприклад, якщо задано систему
для якої точний розв’язок
Обчислення проведемо згідно формул:
. За початкове наближення вибираємо вектор
Результати обчислень наведемо в таблиці: Ітерації Метод простої ітерації Метод Зейделя   х1 х2 х3 х1 х2 х3  0 0 0 0 0 0 0  1 2 3 4 5 6 1,0000 1,2750 1,1287 1,0187 0,9882 0,99105 1,5000 1,2000 1,0342 0,9922 0,98373 0,99547 0,4000 0,7600 0,9590 1,0394 1,0195 1,0056 1,0000 1,0500 0,9896 1,0010 1,0000 1,3333 0,9473 1,0050 0,9999 1,0000 1,1333 0,9889 0,9999 1,0000 1,0000  Достатні умови збіжності ітераційного методу Зейделя
для всіх
і якщо хоча б для одного і ця нерівність строга

. 2.ЗАВДАННЯ ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методами простої ітерації або Зейделя.

,


3.Блок-схема алгоритму програми 4. Список ідентифікаторів констант, змінних, функцій, використаних у блок-схемі алгоритму і програмі, та їх пояснення WriteLine , ReadLine – функції вводу-виводу даних for – оператор циклу; a – матриця коефіцієнтів A – матриця а, зведена до нормального вигляду x – стовпцева матриця розв’язків 5. Текст програми using System; namespace Palko { class Laba { public int i, j; public int n = 4; public double m, k, p, f, t, S, Sum; public double E = 0.0001; public double[,] A; public double[] x; public double[,] a; public double[] b; public void vvid() { Console.Write(" k="); k = Convert.ToInt32(Console.ReadLine()); Console.Write(" p="); p = Convert.ToInt32(Console.ReadLine()); S = 0.2 * k; t = 0.2 * p; } public void vyvid() { for (i = 0; i < n; i++) { for (j = 0; j < n; j++) { Console.Write(a[i, j]); Console.Write("\t"); } Console.WriteLine(" " + b[i]); } Console.WriteLine(); } public void zeidel() { a = new double[n, n]; b = new double[n]; A = new double[n, n]; x = new double[n]; a[0, 0] = 13.3; a[0, 1] = (12.62 + S); a[0, 2] = 4.1; a[0, 3] = 1.9; a[1, 0] = 3.92; a[1, 1] = 8.45; a[1, 2] = (1.78 - S); a[1, 3] = 1.4; a[2, 0] = 3.77; a[2, 1] = (1.21 + S); a[2, 2] = 8.04; a[2, 3] = 0.28; a[3, 0] = 2.21; a[3, 1] = (3.65 - S); a[3, 2] = 1.69; a[3, 3] = 9.99; b[0] = (-10.55 + t); b[1] = 12.21; b[2] = (15.45 - t); b[3] = -8.35; Console.WriteLine("Система рiвнянь :"); Console.WriteLine(); vyvid(); for (i = 0; i < n; i++) { for (j = 0; j < n; j++) { if (i == j) { A[i, j] = 0; } else { A[i, j] = -a[i, j] / a[i, i]; } } b[i] = b[i] / a[i, i]; } Console.WriteLine(); Console.WriteLine("Початкове наближення:"); for (i = 0; i < n; i++) { Console.Write("x(" + (i + 1) + ")=" + x[i]+"\n"); } int v = 0; do { m = 0; v = v + 1; for (i = 0; i < n; i++) { Sum = 0; for (j = 0; j < n; j++) { Sum += A[i, j] * x[j]; } f = x[i]; x[i] = b[i] + Sum; if ((Math.Abs((x[i] - f)) > m)) m = (Math.Abs(x[i] - f)); } } while (m > E); Console.WriteLine("Кiлькiсть iтерацiй:"+(+v)); Console.WriteLine(); Console.WriteLine("Результати :"); for (i = 0; i < n; i++) { Console.WriteLine("x(" + (i + 1) + ")=" + x[i]); } Console.ReadLine(); } } class Demo { static void Main() { Laba go = new Laba(); go.vvid(); go.zeidel(); } } } 6. Результати роботи програми
7. Висновки На даній лабораторній роботі я навчився розв’язувати системи лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою комп’ютерних програм . Я розв’язував системи за допомогою методу Зейделя. Використовуючи алгоритм ми суттєво скорочуєм час на обчислення лінійних алгебраїчних рівнянь.