МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ ТЕРНОПІЛЬСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ЕКОНОМІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ КОМП’ЮТЕРНИХ ІНФОРМАЦІЙНИХ ТЕХНОЛОГІЙ Кафедра Комп’ютерної інженерії Лабораторна робота №3 «Дослідження стійкості лінійних систем автоматичного управління» Тернопіль 2011 Тема роботи: “Дослідження стійкості лінійних систем автоматичного управління”. ЗАВДАННЯ 1. Використавши результати лабораторної роботи № 2, записати характеристичне рівняння згідно свого варіанту. Дослідити за знайденим рівнянням систему на стійкість згідно критерію Гурвіца та згідно критерію Рауса. 2. Дослідити систему на стійкість згідно критерію Гурвіца та згідно критерію Рауса, якщо задане її характеристичне рівняння
. Значення коефіцієнтів вибирати згідно варіанту по журналу із додатку до лабораторної роботи 3. КРОКИ ВИКОНАННЯ Завдання 1. Розглянемо алгоритм виконання для структурної схеми, що використовувалася як приклад в інструкції до лабораторної роботи № 2. 1.1) Задаємо значення усіх параметрів системи:




1.2) Задаємо вираз для передавальної функції розімкнутої системи, що був одержаний в ході виконання лабораторної роботи № 2:
1.3) Записуємо вираз для передавальної функції замкнутої системи, який обраховуємо за формулою
:
1.4) Записуємо характеристичне рівняння замкнутої системи, прирівнюючи знаменник функції
до нуля:
1.5) Шукаємо вирази для коефіцієнтів
характеристичного рівняння, яке записується у виді (1), причому
, де
- порядок характеристичного рівняння. В розглянутому прикладі максимальний степінь змінної
дорівнює 1, отже
. Для визначення коефіцієнтів в пакеті Mathcad можна записати ліву частину характеристичного рівняння
, виділити в ній кольором змінну
, після чого задати команду з меню Символика/Многономиальные коэффициенты. В результаті одержимо вектор-стовпчик виразів для коефіцієнтів
у порядку збільшення індексу
:
Тоді нижче робимо присвоєння
і виводимо чисельні значення коефіцієнтів:
6) Проводимо дослідження за критерієм стійкості Гурвіца. Якщо коефіцієнти
мають різні знаки, то система нестійка. Якщо усі коефіцієнти
від’ємні, домножаємо кожен з них на –1. Якщо
або
і усі коефіцієнти
додатні, то система стійка. Для систем вищих порядків складаємо визначник Гурвіца (2), що має порядок
. В нашому випадку
, а обидва коефіцієнти
та
додатні, отже система буде стійкою. Для перевірки складемо визначник Гурвіца, який буде мати вигляд:
Так як умови критерію Гурвіца
,
виконуються, то система є стійкою. 7) Проводимо дослідження за критерієм стійкості Рауса. Так як
, то таблиця Рауса складатиметься з двох рядків. Отже, задаємо лише матрицю
(для більших значень
необхідно також задавати вектор
).



Далі виводимо елементи першого стовпця таблиці Рауса:

Оскільки усі вони є додатніми, то робимо висновок, що за критерієм Рауса система є стійкою. Завдання 2. Досліджуємо стійкість другої системи, що задана характеристичним рівнянням
, де
,
,
,
,
,
. 2.1) Використовуємо критерій Гурвіца. Для цього задаємо порядок
рівняння та його коефіцієнти у вигляді вектора
. Складаємо визначник Гурвіца
. Обчислюємо його головні діагональні мінори
,
,
,
. При цьому використовуємо вбудовану функцію submatrix(M,ir,jr,ic,jc) пакету Mathcad, яка видає блок матриці M, що складається з елементів, загальних для рядків від ir до jr та стовпців від ic до jc.














Оскільки не усі головні діагональні мінори є додатніми, то за критерієм Гурвіца робимо висновок, що система нестійка. 2.2) Використовуємо критерій Рауса. Для цього задаємо вектор
та матрицю
, які складатимуть таблицю Рауса, що матиме 6 рядків. - 






 - 






 





   





   



    



     Оскільки в першому стовпці таблиці присутній від’ємний коефіцієнт (
), то за критерієм Рауса робимо висновок, що система нестійка. Висновки: В цій лабораторній роботі використавши результати даної роботи я записав характеристичне рівняння, а також дослідив за знайденим рівнянням систему на стійкість згідно критерію Гурвіца та згідно критерію Рауса.