Міністерство освіти і науки України Національний університет «Львівська політехніка» Інститут економіки і менеджменту Кафедра маркетингу і логістики / Контрольна робота №1 на тему: «Теоретичні основи економіко – математичного моделювання» (варіант №11) Львів 2017 Теоретична частина Передумови застосування МНК. Застосовуємо 1МНК для оцінки параметрів моделі, якщо виконуються такі умови: математичне сподівання залишків дорівнює нулю, тобто: М=0; значення и, вектора залишків и незалежні між собою і мають постійну дисперсію, тобто M(uu')= 2E, ,де Е — одинична матриця; незалежні змінні моделі не пов'язані із залишками: М(х'и)=0;  незалежні змінні моделі утворюють лінійно незалежну систему векторів, або, іншими словами, незалежні змінні не повинні бути мультиколінеарними, тобто не дорівнює о. Це означає, що матриця Х має повний ранг. Перша умова, здавалося б, є очевидною. Адже коли математичне сподівання залишків не дорівнює нулю, то це означає, що існує систематичний вплив на залежну змінну, а до модельної специфікації не введено всіх основних незалежних змінних. Якщо ця передумова не виконується, то йдеться про помилку специфікації. Друга умова передбачає наявність сталої дисперсії залишків. Цю властивість називають гомоскедастичністю. Проте вона може виконуватись лише тоді, коли залишки и є помилками вимірювання. Якщо залишки акумулюють загальний вплив змінних, які не враховані в моделі, то звичайно дисперсія залишків не може бути сталою величиною, вона змінюється для окремих груп спостережень. У такому разі йдеться про явище гетероскедастичності, яке впливає на методи оцінювання параметрів. Третя умова передбачає незалежність між залишками і пояснювальними змінними, яка порушується насамперед тоді, коли економетрична модель будується на базі одночасових структурних рівнянь або має лагові змінні. Тоді для оцінювання параметрів моделі використовуються, як правило, дво- або трикроковий методи найменших квадратів. Четверта умова означає, що всі пояснювальні змінні, які входять до економетричної моделі, мають бути незалежними між собою. Проте очевидно, що в економіці дуже важко вирізнити такий масив незалежних (пояснювальних) змінних, які були б зовсім не пов'язані між собою. Тоді щоразу необхідно з'ясовувати, чи не впливатиме залежність пояснювальних змінних на оцінку параметрів моделі. Це явище називають мультиколінеарністю змінних, що призводить до ненадійності оцінки параметрів моделі, робить їх чутливими до вибраної специфікації моделі та до конкретного набору даних. Знижується рівень довіри до результатів верифікації моделей з допомогою 1МНК. Отже, це явище з усіх точок зору є дуже небажаним. Але воно досить поширене. Далі розглянемо методи виявлення мультиколінеарності й способи її врахування з допомогою специфікації моделі чи спеціальних методів оцінювання параметрів. Поняття гомоскедастичності та гетероскедастичності. Перевірка гетероскедастичності на основі критерію (. Однією з чотирьох необхідних умов для застосування МНК при оцінюванні параметрів економетричної моделі є вимоги постійної дисперсії залишків для кожного спостереження, тобто М(uu') = /. Ця властивість незмінної дисперсії в спостереженнях називається гомоскедастичністю. Якщо дисперсія залишків змінюється для кожного спостереження або групи спостережень, тобто М(uu') = /, то це явище називається гетероскедастичність. Тут позначено:/- дисперсія залишків, яка виступає невідомим параметром; S - відома симетрична додатково визначена матриця, обидва терміни гомоскедастичність та гетероскедастичність - запропоновані відомим російським вченим-статистиком А.А.Чупровим. При наявності гетероскедастичності залишків u оцінки параметрів моделі МНК будуть незміщеними, обґрунтованими, але неефективними. При цьому формулу для обчислення стандартної помилки спостережень застосовувати не можна. При наявності гетероскедастичності в простій економетричній моделі, тобто /, щоб оцінити параметри МНК, достатньо змінити специфікацію моделі. Коли будується модель множинної регресії з багатьма змінними, то таке перетворення значно ускладнюється. Тому спочатку треба одним із методів визначити наявність гетероскедастичності, а потім оцінити параметри моделі із застосуванням спеціального підходу. Використання того чи іншого методу перевірки економетричної моделі на наявність гетероскедастичності залежить від вхідних даних. Можуть бути запропоновані чотири таких методи: критерій μ; параметричний тест Гольдфельда-Квандта; непараметричний тест Гольдфельда-Квандта; тест Глейсера. Розглянемо послідовність тестування наявності гетероскедастичності. Критерій μ. Цей метод використовується при великої кількості сукупності спостережень п, яких може бути удвічі більше, ніж оцінюваних параметрів. Вхідні дані залежної змінної Y розбиваються на k груп з номерами r=1…k . За кожною групою спостережень розраховується сума квадратів відхилень: / Обчислюється сума квадратів відхилень у цілому для сукупності спостережень / ,де /- кількість спостережень у кожній групі r. Розраховується параметр λ: / ,де П- прибуток k виразів за цією позначкою. Обчислюється критерій /, який наближено відповідає розподілу /при ступені вільності (к-1) та рівні довіри (1-/). Якщо/., то у розглядаємій множині спостережень має місце гетероскедастичність. Задача Статистичні дані щодо заощаджень та доходів населення певного регіону Періоди Заощадження, млн. грн.(y) Дохід, млн. грн. (х) Періоди Заощадження, млн. грн.(y) Дохід, млн. грн. (х)  1 0,36 8,8 10 0,59 15,5  2 0,20 9,4 11 0,90 16,7  3 0,08 10,0 12 0,95 17,7  4 0,20 10,6 13 0,82 18,6  5 0,10 11,0 14 1,04 19,7  6 0,12 11,9 15 1,53 21,1  7 0,41 12,7 16 1,94 22,8  8 0,50 13,5 17 1,75 23,9  9 0,43 14,3 18 1,99 25,2  Завдання: Для цих даних необхідно перевірити наявність гетероскедастичності згідно з критерієм
. Розв’язок: перевіряю наявність гетероскедастичності згідно з критерієм µ:   y1 (y1-y1c)2 y2 (y2-y2c)2 y3 (y3-y3c)2    0,36 0,0336 0,41 0,0484 0,82 0,4784    0,2 0,0005 0,5 0,0169 1,04 0,2225    0,08 0,0093 0,43 0,0400 1,53 0,0003    0,2 0,0005 0,59 0,0016 1,94 0,1835    0,1 0,0059 0,9 0,0729 1,75 0,0568    0,12 0,0032 0,95 0,1024 1,99 0,2288  Сума 1,06 0,0531 3,78 0,2822 9,07 1,1703   y1с= 0,177 y2с= 0,63 y3с= 1,5117  
ΣSr= 0,0531 + 0,2822 + 1,1703 = 1,5056 (ΣSr\18)9= 2,004E-10 (S1\6)3 = 6,9446E-07 (S2\6)3 = 0,000104 (S3\6)3 = 0,00742 П (Sі\6)і= 5,36E-13 α= 5,36E−13 2,004E−10 =0,0027 μ=-2 ln 0,0027 =11,8477
= 7,8 Значення
не менше за табличне значення
при вибраному рівні ймовірності і ступені вільності k-1,тобто спостерігається гетероскедастичність.