МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ «ЛЬВІВСЬКА ПОЛІТЕХНІКА» ІКТА Кафедра БІТ / Звіт до лабораторної роботи №2 з курсу: «Комп’ютерні методи дослідження інформаційних процесів та систем» на тему: «Метод Гаусса для розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь» Метод LU – розвитку Мета роботи – ознайомлення з прямими методами розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Методи розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь Нехай задано систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
, де А – квадратна невироджена матриця розмірності
, X – вектор-стовпець невідомих розмірності n, В – вектор-стовпець вільних членів розмірності n. Методи розв’язування систем такого виду поділяються на дві групи : прямі та ітераційні. 1) Прямі методи зводяться до скінчених алгоритмів для обчислення коренів рівнянь (тобто розв’язки шукають за певними формулами). Вони дають розв’язки після виконання відомого для даного n (n – порядок системи) числа арифметичних операцій. Іншими словами, прямими методом розв’язування лінійної системи
називають будь-який метод, котрий дозволяє знайти елементи вектора X з допомогою скінченого числа елементарних математичних операцій: додавання, віднімання, ділення, множення, та, можливо, кореня квадратного. Оцінити ефективність будь-якого методу можна за допомогою таких основних характеристик: числа операцій, необхідних для реалізації даного методу; об’єму пам’яті; чутливості до переносу похибок заокруглення (або обчислювальної стійкості). Практично всі прямі методи розв’язування систем базуються на зведені матриці А до матриці простішої структури – діагональної (тоді розв’язок очевидний) або трикутної, та методів розв’язування таких систем. До групи прямих методів розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь належать: – метод Гаусса та його різновиди: а) класичний метод Гаусса із зведенням матриці А до верхньої трикутної матриці і одержанням розв’язків з допомогою обернених підстановок. Число операцій (вартість методу) –
операцій додавання, множення та
операцій ділення (можна ними знехтувати в порівнянні з
). б) метод Гаусса з вибором головного елемента (частковим або повним). Число арифметичних операцій при цьому складає ~
додавань та ~
множень. Повна вартість методу в основному визначається вартістю зведення матриці А до трикутного вигляду, оскільки вартість розв’язку вже самої трикутної системи незначна в порівнянні з вартістю зведення матриці до трикутного вигляду. – LU-розклад (lower-upper –нижній-верхній)


Якщо використовувати алгоритм Краута, то число операцій складе
. З точки зору об’єму обчислень метод LU- розкладу еквівалентний методу Гаусса з частковим вибором головного елемента; його переваги – це можливість роботи з різними векторами вільних членів В та з транспонованими матрицями
(розв’язок рівняння
знаходиться за тим же LU-розкладом). – метод (схема) Халецького. При розкладі симетричних матриць можна зменшити число операцій і необхідний об’єм пам’яті. Повна вартість методу Халецького складає половину вартості методу Гаусса + n обчислень квадратного кореня. Метод чисельно стійкий. – метод Жордана (роблять діагональну матрицю замість трикутної). Метод рідко використовується на практиці. До прямих методів відносяться також методи для кліткових та розріджених матриць. 2) Ітераційні (або наближені) методи – це методи послідовних наближень. В них необхідно задати деякий наближений розв’язок – так зване початкове наближення. Після цього з допомогою деякого алгоритму проводиться один цикл обчислень, котрий називається ітерацією. В результаті ітерації знаходять нове наближення. Ітерації проводять до тих пір, доки не одержать розв’язок із заданою похибкою. Об’єм обчислень при цьому наперед не відомий. Основний недолік прямих методів – це нагромадження похибок в процесі розв’язування, оскільки обчислення на будь-якому етапі використовують результати (з похибками) попередніх операцій. Це особливо небезпечно для великих систем (
і більше) – наростає число операцій, а також для погано обумовлених систем (
) (малі похибки обчислень або вхідних даних можуть породити значні похибки в розв’язку). Тому прямі методи використовують для відносно невеликих (
) систем з густо заповненою матрицею та
. Перевагою ітераційних методів над прямими є те, що окремі похибки, що виникають при обчисленнях, не впливають на кінцевий результат (ітерації закінчуються тільки тоді, коли одержано розв’язок із наперед заданою точністю), а ведуть лише до збільшення числа необхідних ітерацій. Крім того, розв’язування систем ітераційними методами спрощується ще й тому, що на кожній ітерації розв’язується система з одними і тими ж матрицями. До ітераційних належить: метод простої ітерації, метод Зейделя, метод верхньої релаксації, та інші. Метод LU – розвитку Це одна з модифікацій методу Гауса. Матрицю А зображають у вигляді добутку двох трикутних матриць:
, де

(8) Тоді система коефіцієнтів системи з
рівнянь набуде вигляду
(9)
(10) Прямий хід тут – це розв’язування системи (9), зворотний – розв’язування системи (10). Елементи матриць
і
обчислюють послідовно: спочатку елементи першого стовпця матриці
, потім – першого рядка матриці
і перший елемент вектора
; далі – другий стовпець матриці
, другий рядок матриці
і другий елемент вектора
і так далі:



Під час зворотного ходу визначають невідомі
:
ЗАВДАННЯ ДО ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ Розв’язати систему лінійних алгебраїчних рівнянь методом Гаусса Варіант 3 8.30