Фізичні основи механіки: конспект лекцій з фізики

Фізичні основи механіки

Інформація про навчальний заклад

ВУЗ:

Національний університет Києво-Могилянська Академія

Інститут:

Науково-навчальний інститут фізико-математичних наук

Факультет:

Факультет природничих наук

Кафедра:

Кафедра фізики

Інформація про роботу

Рік:

2026

Тип роботи:

Конспект лекцій

Предмет:

Фізика

Група:

ФІЗ-11

Коротко про документ

Про що ця робота

У конспекті розглядаються базові поняття кінематики та динаміки матеріальної точки і твердого тіла. Детально описано закони збереження енергії, імпульсу та моменту імпульсу, а також гармонічні коливання.

У роботі розглядаються

Кінематика матеріальної точки
Закони динаміки Ньютона
Закон збереження імпульсу
Робота та енергія
Динаміка обертального руху
Закон збереження моменту імпульсу
Гармонічні коливання

Зміст і розділи

Швидкість і прискорення
Закони динаміки матеріальної точки
Закон збереження імпульсу
Робота сили та її вираження через криволінійний інтеграл
Кінетична енергія механічної системи
Потенціальна енергія
Закон збереження механічної енергії
Кутова швидкість і кутове прискорення
Момент сили і момент імпульсу
Рівняння динаміки обертального руху
Закон збереження моменту імпульсу
Гармонічні коливання

Для кого:Студенти вищих навчальних закладів технічних та природничих спеціальностей.

Викладачі:Корень І.

Ключові поняття

матеріальна точкашвидкістьприскореннясилаімпульсроботакінетична енергіяпотенціальна енергіямомент інерціїмомент імпульсугармонічні коливанняциклічна частота

Схожі матеріали

( 61. Магнітні моменти атомів. Намагніченість. Атоми в магнітному полі Переглянути → Індивідуальне розрахунково-графічне завдання з фізики Переглянути → Механічні хвилі та коливання Переглянути → ІІ. ОСНОВИ МОЛЕКУЛЯРНОЇ ФІЗИКИ І ТЕРМОДИНАМІКИ Переглянути → Електростатика Переглянути → Постійний електричний струм Переглянути →

Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):

I. ФІЗИЧНІ ОСНОВИ МЕХАНІКИ ( 1. Швидкість і прискорення Матеріальна точка, рухаючись, описує деяку лінію в просторі. Ця лінія називається траєкторією. Залежно від форми траєкторії рух може бути прямолінійним або криволінійним. Розглянемо рух матеріальної точки вздовж довільної криволінійної траєкторії (рис. 1). Довжина ділянки траєкторії АВ, яка пройдена точкою з моменту початку відліку часу, називається довжиною шляху (S і (S = (S(t). Вектор , проведений з початкового положення рухомої точки в положення її в даний момент часу, називається вектором переміщення. Нехай матеріальна точка рухається по якійсь криволінійній траєкторії (рис. 2). Величина називається середньою швидкістю руху точки за час (t. Якщо перейти до границі при (t, то отримаємо вираз для миттєвої швидкості : . Миттєва швидкість – векторна величина, яка дорівнює першій похідній радіус-вектора рухомої точки по часу. Вектор швидкості напрямлений по дотичній до траєкторії в сторону руху. Числове значення миттєвої швидкості дорівнює першій похідній шляху по часу: . Довжина шляху, який пройдений точкою за проміжок часу від до , . У випадку нерівномірного руху важливо знати, як швидко змінюється швидкість з часом. Нехай точка в положенні А в момент часу t має швидкість . За час (t рухома точка перейде в положення В і набуде швидкості (рис. 3), яка відмінна від як за модулем, так і за напрямком й . Перенесемо вектор в точку В і знайдемо . Середнім прискоренням нерівномірного руху в інтервалі часу від t до t+(t називається вектор , який дорівнює відношенню вектора до проміжку часу (t: . Вектор збігається за напрямком з вектором зміни швидкості . Миттєвим прискоренням точки в момент часу називають векторну величину , яка дорівнює границі середнього прискорення: . Прискорення точки дорівнює першій похідній від її швидкості по часу. Розкладемо вектор зміни швидкості на дві складові: і так, щоб ВС=ВD=. Складова визначає зміну швидкості лише за величиною: якщо рух рівномірний, то = і =0. Інша складова існує і при рівномірному русі, очевидно, = 0 в тому випадку, якщо рух тіла прямолінійний. Таким чином, вектор прискорення можна зобразити у вигляді суми двох взаємно перпендикулярних векторів: Величина називається тангенціальним прискоренням, яке характеризує зміну швидкості лише за величиною і напрямлене по дотичній до траєкторії. Числове значення вектора дорівнює: . Величина називається вектором нормального прискорення і характеризує зміну швидкості лише за напрямком. Це прискорення завжди перпендикулярне до напрямку швидкості. Числове значення вектора дорівнює: . Отже, повне прискорення матеріальної точки дорівнює векторній сумі її тангенціального і нормального прискорень (рис. 4): , причому . Напрямок повного прискорення визначається кутом між векторами і . З рис.4 видно, що . ( 2. Закони динаміки матеріальної точки В основі динаміки, яка розглядає закони руху тіл і ті причини, що його викликають або змінюють, лежать закони Ньютона. Перший закон Ньютона: всяка ма- теріальна точка (тіло) зберігає стан спокою або рівномірного прямолінійного руху доти, доки дія з боку інших тіл не змусить її змінити цей стан. Перший закон Ньютона називають законом інерції, а властивість тіла зберігати стан спокою або рівномірного прямолінійного руху без дії на них інших тіл є інертністю. Системи відліку, відносно яких ви- конується перший закон Ньютона, називаються інерціальними системами. Зміст першого закону Ньютона зводиться до двох тверджень: 1) всім тілам властива інертність; 2) існують інерціальні системи відліку. Інерціальною системою відліку можна вважати систему відліку, зв’язану із Сонцем, – початок координат знаходиться в центрі Сонця, а осі проведено в напрямку певних зірок. Система відліку, яка зв’язана із Землею, строго кажучи, неінерціальна. Перш ніж розкривати зміст другого закону Ньютона, зупинимось на поняттях маси і сили. Фізична величина, яка є мірою інертності матеріальної точки, називається інертною масою . Маса тіл характеризує теж здатність його взаємодіяти з іншими тілами згідно з законом всесвітнього тяжіння. В цьому випадку маса є мірою гравітаційної взаємодії і зветься гравітаційною масою (mг). У сучасній фізиці з високим ступенем точності встановлено, що , якщо швидкість матеріальної точки набагато менша від швидкості світла у вакуумі. Маса тіла – скалярна величина і, як показує дослід, маса – величина адитивна: маса тіла дорівнює сумі мас всіх частинок цього тіла, відповідно маса довільної механічної системи дорівнює сумі мас всіх матеріальних точок, на які цю систему можна уявно розбити. Силою називається векторна величина, що є мірою механічної дії на тіло з боку інших тіл, внаслідок якої тіло отримує прискорення або змінює свою форму і розміри. В кожний момент часу сила характеризується числовим значенням, напрямком у просторі і точкою прикладання. Другий закон Ньютона: прискорення, що його набуває тіло, прямопропорційне до сили, яка діє на нього, і обернено пропорційне до маси цього тіла; за напрямком прискорення збігається із силою: , або, якщо маса є стала величина, . Векторна величина називається імпульсом (кількістю руху) матері-альної точки. Тоді . Отже, швидкість зміни імпульсу матеріальної точки дорівнює силі, яка діє на точку. Другий закон Ньютона справедливий лише в інерціальних системах відліку. При дії кількох сил на матеріальну точку виконується принцип незалежності дії сил: якщо на матеріальну точку діють одночасно кілька сил, то кожна з цих сил надає матеріальній точці прискорення, що визначається другим законом Ньютона, ніби інших сил не було. Взаємодія між матеріальними точками (тілами) визначається третім законом Ньютона: сили взаємодії двох матеріальних точок (тіл) в інерціальній системі відліку однакові за модулем і напрямлені в протилежні сторони , де – сила, що діє на i-у точку з боку -ї точки, а – сила, що діє на -у точку з боку i-ї. Сили і прикладені до різних точок (рис. 5). ( 3. Закон збереження імпульсу Сукупність матеріальних точок (тіл), які розглядаються як єдине ціле, називається механічною системою. Механічна система, в якій тіла взаємодіють між собою і на яку не діють зовнішні сили, називається замкненою. Розглянемо механічну систему, яка складається із тіл, маса і швидкість яких дорівнюють відповідно і . Нехай – рівнодійні зовнішніх сил, що діють на кожне з цих тіл, а – внутрішня сила, яка діє на і-те тіло з боку к-го. На рис. 6 наведені рівнодійні зовнішніх сил і внутрішні сили, які діють між тілами механічної системи, що складається, наприклад, із трьох тіл. Запишемо другий закон Ньютона для кожного з n тіл механічної системи: , , …………………………………………… . Додаючи почленно ці рівняння, знаходимо: За третім законом Ньютона , і і , де – імпульс системи, а – головний вектор зовнішніх сил. Отже, похідна по часу від імпульсу механічної системи дорівнює головному вектору зовнішніх сил, що діють на систему. У випадку замкненої системи , тобто . Цей вираз є законом збереження імпульсу: імпульс замкненої системи не змінюється із плином часу. ( 4. Робота сили та її вираження через криволінійний інтеграл Якщо тіло рухається прямолінійно і на всьому переміщенні на нього діє стала за величиною і напpямком сила , яка утворює кут з напрямком переміщення, то: Робота , яка виконана силою , – це фізична величина, що дорівнює скалярному добутку сили на переміщення: , де – шлях пройдений тілом за час дії сили. У загальному випадку сила може змінюватись як за модулем, так і за напрямком. При цьому сила може залежати як від координат x,y,z точки прикладання сили, так і від швидкості точки. Якщо розглянути елементарне переміщення , то силу можна вважати постійною, а рух точки її прикладання – прямолінійним. Елементарною роботою сили на переміщенні є скалярна величина , де – елементарний шлях (рис. 7). Робота сили на ділянці траєкторії від точки 1 до 2 дорівнює алгебраїчній сумі елементарних робіт на окремих нескінченно малих ділянках шляху: , де – проекція сили F на напрямок. Нехай залежність сили від шляху S зображена графічно (рис. 8). Тоді робота A вимірюється площею, заштрихованою на рис. 8. Сила, що діє на тіло, не виконує роботу, якщо: а) тіло перебуває у спокої (dS = 0); б) сила перпендикулярна до напрямку переміщення тіла . Якщо (, робота сили додатна і силу називають рушійною силою. Якщо кут (, то робота сили від’ємна і сила - називається силою опору. Якщо на тіло, яке рухається поступально, одночасно діють кілька сил, то робота рівнодійної сили рівна алгебраїчній сумі робіт цих сил. Сила , що діє на матеріальну точку або на тіло, яке рухається поступально, називається консервативною, або потенціальною, якщо робота А1-2, яка виконується цією силою при переміщенні точки (тіла) з одного довільного положення 1 в інше 2, не залежить від того, по якій траєкторії відбулось це переміщення (рис. 9): А1-а-2=А1-b-2=A1-2. Зміна напрямку руху вздовж траєкторії на протилежний спричинює зміну знака роботи (кут ( замінюється на (-( і cos ( змінює свій знак). Тому при переміщенні матеріальної точки вздовж замкненої траєкторії L (1-а-2-b-1), робота консервативної сили дорівнює нулю: . Прикладами консервативних сил є сили тяжіння, гравітаційні сили, сили пружності, сили електростатичної взаємодії між зарядженими тілами. ( 5. Кінетична енергія механічної системи Кінетичною енергією механічної системи називається енергія механічного руху цієї системи. Сила , яка діє на тіло у стані спокою і викликає його рух, виконує роботу, а енергія рухомого тіла зростає на величину виконаної роботи: . Використовуючи скалярний запис другого закону Ньютона і помноживши обидві частини на елементарний шлях dS, отримаємо . Оскільки , то і . Кінетична енергія тіла не може бути від’ємною. Повна кінетична енергія системи дорівнює сумі кінетичних енергій всіх тіл, що входять до неї: . Кінетична енергія системи залежить від величини мас і швидкостей руху тіл, що входять до неї. При цьому неістотно, як тіло з масою набуло швидкості . Цей висновок можна сформулювати так: кінетична енергія системи є функцією стану її руху. Швидкість істотно залежить від вибору системи відліку. В різних інерціальних системах відліку, що рухаються одна відносно одної, швидкість і-го тіла системи, а отже, його кінетична енергія системи будуть неоднакові. Кінетична енергія системи залежить від вибору системи відліку, тобто є величиною відносною. ( 6. Потенціальна енергія Потенціальною енергією механічної системи називається енергія, яка залежить від її конфігурації, тобто від взаємного розміщення всіх матеріальних точок системи і характеру консервативних сил, які діють між точками. Робота А12, що виконується консервативними силами при зміні конфігурацій системи, не залежить від того, як здійснюється процес переходу з початкової конфігурації системи (1) в кінцеву (2). Робота А12 повністю визначається початковою і кінцевою конфігураціями системи. Отже, роботу А12 можна подати у вигляді різниці значень деякої функції конфігурації системи Еn(x, y, z), яка називається потенціальною енергією системи. . Робота потенціальних сил дорівнює зменшенню потенціальної енергії системи. Відповідно елементарна робота консервативних сил при малій зміні конфігурації системи , або . Звідси потенціальна енергія , де С – стала інтегрування, тобто потенціальна енергія визначається з точністю до деякої довільної сталої. Це не відбивається на фізичних законах, оскільки в них входить або різниця потенціальних енергій двох конфігурацій системи, або похідна по координатах. Якщо відомий вираз Еn(x, y, z), то можна знайти силу, що діє на матеріальну точку. Розглянемо переміщення точки паралельно осі ОХ на dх. Таке переміщення супроводжується виконанням над точкою роботи . Та сама робота дорівнює зменшенню потенціальної енергії: . Прирівнявши обидва вирази для роботи, отримаємо: . Звідси (y = const, z = const). Тут ураховано те, що похідна по x обчислюється при умові, що координати y i z залишаються сталими. Для компонент сил по осях Y i Z отримують аналогічні вирази. Отже, , , або . Вектор , який побудований за допомогою скалярної функції , називається градієнтом функції і позначається gradEn. Напрямок вектора grad збігається з напрямком осі , вздовж якої потенціальна енергія зростає з найбільшою швидкістю. Отже, сила, що діє на матеріальну точку в потенціальному полі, дорівнює взятому із знаком мінус градієнту потенціальної енергії (зменшення енергії!) цієї точки (тіла) в полі, яка розглядається: . ( 7. Закон збереження механічної енергії. Дисипація енергії. Закон збереження і перетворення енергії Розглянемо систему матеріальних точок, маси яких , що рухаються із швидкостями . Нехай – рівнодійні внутрішніх консервативних сил, що діють на кожну з цих точок, а – рівнодійні зовнішніх сил, які теж вважаємо консервативними. Вважатимемо, що на матеріальні точки діють ще і зовнішні неконсервативні сили; рівнодійні цих сил, що діють на кожну з матеріальних точок, позначимо , , … . Якщо (( c, то маси матеріальних точок сталі, і рівняння другого закону Ньютона для цих точок мають такий вигляд: Рухаючись під дією сил, точки системи за інтервал часу здійснюють переміщення, які відповідно дорівнюють: . Помноживши кожне з рівнянь скалярно на відповідне переміщення , отримаємо , , …………………………….. , Додавши ці рівняння, отримаємо . Перший доданок цього рівняння , Другий доданок дорівнює елементарній роботі внутрішніх і зовнішніх консервативних сил, взятій зі знаком мінус, тобто дорівнює елементарній зміні потенціальної енергії: , а – робота зовнішніх неконсервативних сил. Отже, . У разі переходу системи із стану 1 в який-небудь стан 2 , тобто зміна повної механічної енергії системи при переході з одного стану в інший дорівнює роботі, виконаній зовнішніми неконсервативними силами. Якщо зовнішні неконсервативні сили відсутні, то і . Закон збереження механічної енергії: в системі тіл, між якими діють лише консервативні сили, повна механічна енергія зберігається, тобто не змінюється з часом. Механічні системи, на тіла яких діють лише консервативні сили, називаються консервативними. Існує ще один вид систем – дисипативні системи, в яких механічна енергія поступово зменшується за рахунок перетворення в інші форми енергії. Цей процес називається дисипацією енергією. При “зникненні” механічної енергії завжди виникає еквівалентна кількість енергії іншого виду. Енергія ніколи не зникає і не появляється знову, вона лише перетворюється із одного виду в інший. В цьому і полягає фізична суть закону збереження і перетворення енергії. ( 8. Кутова швидкість і кутове прискорення Розглянемо обертання абсолютно твердого тіла – тіла, відстань між будь-якими двома точками якого стала, які б не були сили, що діють на нього. Обертанням абсолютно твердого тіла навколо нерухомої осі називається такий його рух, при якому всі точки тіла рухаються в площинах, перпендикулярних до нерухомої прямої, що називається віссю обертання тіла, і описують кола, центри яких лежать на цій осі (рис. 10). Обертання навколо осі тіла можна здійснити, закріпивши на ній нерухомо дві точки O і O1. Положення в просторі такого тіла визначається значенням кута повороту навколо осі обертання із деякого умовно вибраного початкового положення цього тіла. Рух абсолютно твердого тіла, закріпленого в одній нерухомій точці, називається обертанням твердого тіла навколо нерухомої точки – центра обертання. Такий рух тіла в кожний момент часу розглядають як обертання навколо нерухомої осі, що проходить через центр обертання і називається миттєвою віссю обертання тіла. Положення миттєвої осі відносно нерухомої системи відліку, а також самого тіла з плином часу може змінюватися. Положення такого тіла в просторі задається значенням трьох незалежних координат. Нехай деяка точка А рухається по колу радіуса R (рис. 10, 11). Всі точки радіуса повертаються протягом часу на однаковий кут . Мірою переміщення всього тіла за малий проміжок часу dt є вектор елементарного повороту тіла. Модуль вектора дорівнює куту повороту тіла і напрямлений вздовж осі обертання за правилом правого гвинта: з кінця вектора поворот тіла відбувається проти ходу годинникової стрілки. Вектори, напрямки яких зв’язуються з напрямком обертання, називаються псевдовекторами. Ці вектори не мають певних точок прикладання: вони можуть відкладатися з довільної точки осі обертання. Кінематичною характеристикою напрямку і швидкості обертання тіла є кутова швидкість. Кутовою швидкістю називається векторна величина, яка дорівнює першій похідній кута повороту тіла по часу: . Вектор напрямлений вздовж осі обертання: з його кінця обертання видно проти руху стрілки годинника (рис. 10,11). Вектор визначає положення осі обертання, напрямок і швидкість обертання тіла. Лінійна швидкість точки (рис. 10,11) З цього рівняння і рис. 11 випливає, що вектор лінійної швидкості дорівнює векторному добутку вектора швидкості на радіус-вектор : . Якщо за час t тіло здійснює N обертів, то час, протягом якого обертове тіло здійснює один повний оберт , називається періодом обертання. З іншого боку, тіло, яке рівномірно обертається з кутовою швидкістю (, за час Т повертається на кут ( ( ((. Тому . Кількість обертів за одиницю часу називається частотою обертання: . При рівномірному обертанні . Вектор може змінюватися як зарахунок зміни швидкості обертання тіла навколо осі (в такому разі він змінюється за величиною), так і за рахунок повернення осі обертання в просторі (в такому разі він змінюється за напрямком). Зміна вектора кутової швидкості з часом задається кутовим прискоренням. Середнім кутовим прискоренням називається фізична величина, яка дорівнює відношенню зміни кутової швидкості до проміжку часу , за який ця зміна відбулася: . Миттєвим кутовим прискоренням називається границя середнього кутового прискорення: . Отже, кутове прискорення дорівнює першій похідній по часу від кутової швидкості. Кутове прискорення, як і кутова швидкість, є псевдовектором. У випадку обертання тіла навколо нерухомої осі зміна вектора зумовлюється тільки зміною його числового значення: . Вектор напрямлений вздовж осі обертання (рис. 12): у той самий бік, що й , при прискореному обертанні () і в протилежний бік – при сповільненому обертанні (). Визначимо тангенціальне і нормальне прискорення точки А обертового тіла через кутову швидкість і кутове прискорення: При рівнозмінному обертанні (( = = const) із виразу отримуємо: , і , де – початкова кутова швидкість. А , проінтегрувавши вираз : , . ( 9. Момент сили і момент імпульсу механічної системи. Момент інерціїтіла відносно осі Усяке тіло завжди можна розглядати як систему з n матеріальних точок, причому маса m тіла дорівнює сумі мас усіх цих точок: . Розглянемо закономірності руху твердого тіла, закріпленого в одній нерухомій точці О, що називається центром обертання твердого тіла. Для характеристики зовнішньої механічної дії на тіло, яка приводить до зміни обертального руху тіла, введемо поняття моменту сили. Моментом сили відносно нерухомої точки О називається векторний добуток радіус-вектора , який проведений з точки О в точку прикладання сили, на силу : . Вектор перпендикулярний до площини векторів і (рис. 13). Модуль моменту сили , де – кут між і , – плече сили – довжина перпендикуляра, опущеного з точки на лінію дії сили . Момент сили характеризує здатність сили обертати тіло навколо точки, відносно якої він береться. Моментом сили відносно нерухомої осі ОZ називається скалярна величина , яка дорівнює проекції на цю вісь вектора моменту сили, визначеного відносно довільної точки О даної осі OZ (рис. 14). Значення моменту не залежить від вибору положення точки О на осі OZ. Векторна сума моментів всіх зовнішніх сил, які прикладені до тіла, називається головним моментом зовнішніх сил відносно точки : . Головний момент (результуючий момент) відносно нерухомої осі OZ системи сил дорівнює алгебраїчній сумі моментів всіх сил системи відносно цієї осі: Моментом імпульсу матеріальної точки відносно нерухомої точки називається векторний добуток радіус-вектора матеріальної точки, який проведений з точки , на імпульс цієї матеріальної точки (рис. 15): . Модуль вектора моменту імпульсу . Векторна сума моментів імпульсу всіх матеріальних точок тіла називається моментом імпульсу тіла відносно точки : . Моментом імпульсу тіла відносно нерухомої осі називається скалярна величина , яка дорівнює проекції на цю вісь вектора моменту імпульсу тіла відносно довільної точки на осі OZ. Значення моменту імпульсу не залежить від положення точки на осі OZ. Знайдемо вираз для моменту імпульсу тіла відносно осі обертання. Проекція результуючого вектора на деяку вісь дорівнює алгебраїчній сумі проекцій на цю вісь усіх складових векторів: . Розглянемо обертання абсолютно твердого тіла навколо нерухомої осі OZ, орт якої збігається з напрямком кутової швидкості тіла (рис. 16). При цьому , де . При обертанні тіла навколо осі OZ матеріальна точка масою рухається по колу радіусом із швидкістю . Швидкість й імпульс перпендикулярні до радіуса , і радіус-вектора , причому . В результаті момент імпульсу тіла відносно осі Швидкість і-ї точки тіла, що обертається навколо нерухомої осі OZ з кутовою швидкістю , дорівнює: . Отже, . Сума добутків мас усіх матеріальних точок тіла на квадрати їх відстаней до осі OZ називається моментом інерції тіла відносно цієї осі: . Отже, . Момент імпульсу тіла відносно осі дорівнює добутку моменту інерції тіла відносно тієї самої осі на кутову швидкість обертання навколо цієї осі. Ми ввели поняття моменту інерції, розглядаючи обертання твердого тіла. Однак момент інерції існує безвідносно до обертання. Всяке тіло, незалежно від того чи обертається воно, чи знаходиться в стані спокою, має момент інерції відносно довільної осі. Момент інерції тіла відносно довільної осі можна розрахувати, використавшитеорему Штейнера: момент інерції тіла відносно довільної осі дорівнює сумі моменту інерції тіла відносно паралельної до неї осі , що проходить через центр мас тіла, і добутку маси тіла на квадрат відстані d між осями (рис. 17): . ( 10. Рівняння динаміки обертального руху твердого тіла відносно нерухомої осі. Кінетична енергія тіла, що обертається Розглянемо обертання абсолютно твердого тіла, яке закріплене в одній нерухомій точці О. Щоб отримати співвідношення між моментом імпульса і моментом сили, продиференціюємо по часу правий і лівий бік виразу . Тоді отримуємо . Оскільки , то , а . В результаті отримуємо рівняння, що визначає закон зміни моменту імпульсу , де – момент імпульсу тіла відносно точки О, – головний момент зовнішніх сил відносно точки О. Формулюємо закон: Швидкість зміни моменту імпульсу тіла, що обертається навколо нерухомої точки, дорівнює головному моменту відносно цієї точки всіх зовнішніх сил, які прикладені до тіла. Спроектуємо вектори рівняння на довільну вісь Z, що проходить через точку О. Тоді , де і – проекції на вісь ОZ обертання тіла векторів моменту імпульсу тіла і результуючого моменту зовнішніх сил відносно точки О. Це рівняння динаміки тіла, що обертається навколо нерухомої осі . Отже: швидкість зміни момента імпульсу тіла відносно нерухомої осі обертання дорівнює головному моменту всіх зовнішніх сил, що діють на тіло, відносно цієї осі. Враховуючи, що , отримуємо . Якщо тіло абсолютно тверде, то його момент інерції JZ не залежить від часу. Тому і , де – проекція вектора кутового прискорення на вісь обертання OZ. Звідси кутове прискорення твердого тіла, яке обертається навколо нерухомої осі , прямо пропорційне до головного моменту відносно цієї осі всіх зовнішніх сил, що діють на тіло, і обернено пропорційне до моменту інерції тіла відносно тієї самої осі. Отже, момент інерції тіла є його мірою інертності при обертальному русі. Момент зовнішніх сил вважається додатним, якщо ці сили спричиняють збільшення кутової швидкості обертання тіла . Якщо , то і кутова швидкість твердого тіла стала. Кінетична енергія тіла, що рухається довільно, дорівнює сумі кінетичних енергій всіх матеріальних точок, на які це тіло можна умовно поділити: . Якщо тіло обертається навколо нерухомої осі з кутовою швидкістю , то , де – відстань від цієї точки до осі обертання. Кінетична обертового тіла: . Якщо тверде тіло рухається поступально з швидкістю і одночасно обертається з кутовою швидкістю навколо осі, що проходить через його центр інерції, то його кінетична енергія . ( 11. Закон збереження моменту імпульсу Закон збереження моменту імпульсу випливає із закону зміни моменту імпульсу тіла, закріпленого в нерухомій точці, і полягає в такому: якщо головний момент зовнішніх сил відносно нерухомої точки, прикладених до тіла, тотожно дорівнює нулю, то момент імпульсу тіла відносно цієї точки з плином часу не змінюється: або якщо , то і . Цей закон справедливий і для системи тіл. На замкнену систему тіл зовнішні сили взагалі не діють. Тому результуючий момент цих сил відносно будь якої нерухомої точки тотожно дорівнює нулю. Отже, момент імпульсу замкненої системи тіл відносно будь-якої нерухомої точки сталий у часі. З рівняння динаміки тіла, що обертається навколо нерухомої осі , випливає закон збереження моменту імпульсу тіла відносно цієї осі: якщо момент зовнішніх сил відносно нерухомої осі обертання тіла тотожно дорівнює нулю, то момент імпульсу тіла відносно цієї осі не змінюється під час руху: і , , або , де – кутова швидкість тіла, – його момент інерції відносно осі обертання. Закон збереження моменту імпульсу – фундаментальний закон природи. Він зв’язаний з певними властивостями симетрії простору – його ізотропністю, тобто з інваріантністю фізичних законів відносно вибору напрямку осей координат системи відліку. ( 12. Гармонічні коливання. Диференціальне рівняння гармонічних коливань Коливанням називається всякий рух або зміна стану тіла, що характеризується тим чи іншим ступенем повторюваності в часі значень фізичних величин, які визначають цей рух або стан тіла. Коливання називаються вільними, якщо вони здійснюються за рахунок енергії, яка була надана, за відсутності в наступному зовнішніх впливів на коливну систему. Коливання - періодичні, якщо значення фізичних величин, які змінюються під час коливань, повторюються через однакові проміжки часу. Найпростішим типом періодичних коливань є так звані гармонічні коливання – коливання, при яких значення фізичної величини змінюється з часом за законом косинуса (синуса). Нехай матеріальна точка здійснює прямолінійні гармонічні коливання вздовж осі координат біля положення рівноваги, яке прийняте за початок координат. Тоді залежність координати х від часу задається рівнянням . Тут – зміщення коливної точки; – амплітуда коливання ; – циклічна частота; – початкова фаза коливань в момент часу ; – фаза коливань в момент часу . Найменший проміжок часу Т, після проходження якого повторюються значення всіх фізичних величин, що характеризують коливання, називається періодом коливання. За час Т здійснюється одне повне коливання і фаза коливань отримує приріст , тобто . Звідси . Частотою коливань називається кількість повних коливань, що здійснюються за одиницю часу: , де – кількість коливань, виконаних за час . Частота коливань – величина, яка обернена до періоду коливань: . Циклічна частота , циклічна частота дорівнює кількості повних коливань, що здійснюється за 2( с. Коливний процес характеризується швидкістю і прискоренням коливної точки: де – амплітуда швидкості, а – амплітуда прискорення. Зміщення, швидкість і прискорення точки, що гармонічно коливається, є періодичними функціями часу з однаковими циклічною частотою і періодом Т. Фаза швидкості відрізняється від фази зміщення на , а фаза прискорення відрізняється від фази зміщення на . Прискорення завжди напрямлене до положення рівноваги: віддаляючись від положення рівноваги, коливна точка рухається сповільнено, наближаючись до нього – прискорено. Прискорення прямо пропорційне до зміщення, а його напрямок протилежний до напрямку зміщення. Другий закон Ньютона дає змогу в загальному вигляді записати зв’язок між силою і прискоренням для прямолінійних гармонічних коливань матеріальної точки з масою : Сила, що діє на коливну матеріальну точку прямо пропорційна до зміщення і завжди напрямлена до положення рівноваги. Тому її називають повертальною силою. Фаза сили збігається з фазою прискорення. Прикладом сил, що задовольняють співвідношення , є пружні сили. Сили , що мають іншу природу, ніж пружні сили, але також задовольняють умову , називаються квазіпружними, а – коефіцієнтом квазіпружної сили. Для прямолінійних коливань вздовж осі прискорення . Тоді , і , Це диференціальне рівняння вільних прямолінійних гармонічних коливань, збуджених пружними або квазіпружними силами. Частковими розв’язками цього диференціального рівняння є функції: і Кінетична енергія матеріальної точки, що здійснює гармонічні коливання, дорівнює: Потенціальна енергія матеріальної точки, що здійснює гармонічні коливання під дією квазіпружної сили, дорівнює: Повна механічна енергія коливної точки: . ( 13. Додавання гармонічних коливань однакового напрямку і однакової частоти. Биття Перш ніж розглядати додавання коливальних рухів, спинимось на способі подачі коливань за допомогою обертального вектора амплітуди. Для цього із довільної точки О, яка вибрана на осі , під кутом , що дорівнює початковій фазі коливань, відкладемо вектор , модуль якого дорівнює амплітуді коливання (рис. 18). Проекція вектора на вісь дорівнює зміщенню у момент початку відліку часу : . Обертатимемо вектор амплітуди навколо осі , яка перпендикулярна до площини рисунка, з кутовою швидкістю . За проміжок часу вектор амплітуди повертається на кут . Проекція вектора в цьому положенні на вісь ОХ дорівнює: . За час Т, що дорівнює періоду коливань, вектор амплітуди повертається на кут , а проекція його кінця зробить одне повторне коливання навколо положення рівноваги , отже, обертовий вектор амплітуди повністю характеризує гармонічне коливання. Нехай точка бере участь у двох гармонічних коливаннях однакової частоти, які напрямлені вздовж однієї прямої: Ці коливання зручно додати, користуючись методом обертального вектора амплітуди (рис. 19). Оскільки вектори і обертаються з однаковою кутовою швидкістю, то різниця фаз між ними постійна. Оскільки сума проекцій двох векторів на одну вісь дорівнює проекції на ту саму вісь вектора, який є їх сумою, то результуюче коливання можна подати вектором амплітуди , що дорівнює сумі векторів і : і який обертається навколо точки з тією самою кутовою швидкістю , що й вектори і . Результуюче коливання описуються рівнянням , де – амплітуда результуючого коливання, а – його початкова фаза. З рис. 19 видно, що Амплітуда результуючого коливання залежить від різниці початкових фаз коливань, що додаються. Можливі значення лежать у межах . Розглянемо кілька окремих випадків. 1. . Тоді і . 2. . Тоді і . Якщо частоти коливань і неоднакові, то вектори і будуть обертатися з різною швидкістю. В цьому випадку результуючий вектор пульсує за величиною і обертається з непостійною швидкістю. Результуючим рухом буде в цьому випадку не гармонічне коливання, а деякий складний коливний процес. Особливий інтерес становить випадок, коли два гармонічні коливання однакового напрямку, що додаються, мало відрізняються за частотою. Періодичні зміни амплітуди коливання, які виникають при додаванні двох гармонічних коливань одного напрямку з близькими частотами, називаються биттям. Нехай амплітуди коливань , , а частоти дорівнюють , і ((: Тоді рівняння коливань матимуть вигляд. , . Додаючи ці вирази і застосовуючи тригонометричну формулу для суми косинусів, отримуємо: . Отриманий вираз є добуток двох коливань. Оскільки ((, то множник майже не зміниться, коли множник здійснює кілька повних коливань. Тому результуюче коливання можна розглядати як гармонічне з частотою й амплітудою . Частота зміни вдвічі більша від частоти зміни косинуса (оскільки береться за модулем). Частота биття дорівнює різниці частот коливань, що додаються, тобто . Період биття . Суцільні лінії на рис. 20 дають графік результуючого коливання у випадку , і графік амплітуди . де – різниця фаз обох коливань.

Конспект лекцій Фізика

Допоможи студентському архіву