( 61. Магнітні моменти атомів. Намагніченість. Атоми в магнітному полі Щоб з’ясувати причини відмінностей магнітних властивостей середовищ та їх впливу на величину магнітної індукції магнітного поля, треба вивчити процеси, що відбуваються в речовині під впливом зовнішнього магнітного поля на атоми і молекули речовини. В будь-якій речовині, вміщеній у зовнішнє магнітне поле, виникає особливий стан намагніченості і створюється внутрішнє магнітне поле. Розглянемо причини цього явища з погляду будови атомів і молекул, поклавши в основу гіпотезу Ампера, згідно з якою в будь-якому тілі існують мікроскопічні струми, зумовлені рухом електронів в атомах і молекулах. Електрони в атомах рухаються по деяких замкнених орбітах. Електрон в атомі, що рухається по орбіті навкруги ядра (рис. 115), еквівалентний коловому струму, - тому він має орбітальний магнітний момент
, модуль якого
, де S – площа орбіти електрона:
. Вектор
напрямлений в той самий бік, що й індукція магнітного поля в центрі колового струму І. Кількість обертів електронів в секунду
. Тоді сила струму
і
З іншого боку, кожний електрон, що рівномірно рухається по орбіті, має орбітальний механічний момент імпульсу, який числово дорівнює
. Тоді
Вектори
і
напрямлені у взаємно протилежні сторони. Тому
,
, де
– гіромагнітне відношення орбітальних моментів. Знайдене експериментально значення гіромагнітного відношення відрізняється від орбітального гіромагнітного відношення:
і
. Щоб пояснити результат експерименту, припустили, що електрон, крім орбітальних моментів
і
, має власний механічний момент імпульсу
, що називається спіном електрона. Спін є невід’ємною властивістю електрона, подібно до того, як йому властиві заряд е і маса m. Спін електрона виявляється в багатьох експериментальних фактах. Спіну електрона
відповідає власний (спіновий) магнітний момент
, який дорівнює:
де
– гіромагнітне відношення спінових моментів. Магнітний момент електрона складається з його орбітального і спінового магнітних моментів. А магнітний момент атома дорівнює сумі магнітних моментів електронів, що входять до складу атома, і магнітного моменту ядра, який значно менший від моментів електрона. Тому магнітним моментом ядра нехтують. Отже,
, де
– атомний номер хімічного елемента. За відсутності зовнішнього магнітного поля магнітні моменти орієнтовані хаотично, внаслідок чого сумарний магнітний момент речовини дорівнює нулю і результуюча індукція магнітного поля, яке створене мікроскопічними струмами, дорівнює нулю. Під дією зовнішнього магнітного поля магнітні моменти орієнтуються в певному напрямку і виникає внутрішнє магнітне поле, сумарний магнітний момент відмінний від нуля і речовина намагнічується. Для кількісного опису намагнічування магнетиків введемо векторну величину – намагніченість
, яка числово дорівнює магнітному моменту одиниці об’єму магнетика:
, де
– кількість атомів (молекул), що знаходяться в об’ємі
,
– магнітний момент і-го атома (молекули). Об’єм
повинен бути настільки малим, щоб в його межах магнітне поле можна вважати однорідним. ( 62. Діа- і парамагнетики Досліди і теорія показують, що всі речовини, які поміщені в магнітне поле, набувають магнітних властивостей, тобто намагнічуються і тому деякою мірою змінюють зовнішнє поле. При цьому виявляється, що одні речовини послаблюють зовнішнє поле, а інші – підсилюють його; перші називаються діамагнетиками, другі – парамагнетиками. Більшість речовин належить до діамагнетиків. Діамагнетиками називають речовини, магнітні моменти атомів або молекул яких дорівнюють нулю, коли немає зовнішнього магнітного поля. В цих речовинах спінові та орбітальні магнітні моменти електронів взаємно скомпенсовані. До діамагнетиків належать інертні гази He, Ne, Ar Kr, Xe, а також такі речовини, як
, C, Cu, Zn, Ag, Sb, Hg, Pb, Bi, багато органічних сполук тощо. Коли внести діамагнетик у зовнішнє магнітне поле, у кожному його атомі індукується магнітний момент
, який напрямлений протилежно до вектора
магнітної індукції поля. В межах малого об’єму
ізотропного діамагнетика вектори
всіх
атомів (молекул) однакові. Вони пропорційні до вектора
і протилежні йому за напрямком. Тому вектор намагнічування дорівнює:
де
– безрозмірний коефіцієнт пропорційності, який залежить від природи речовини. Коефіцієнт
називається магнітною сприйнятливістю речовини. Для всіх діамагнетиків
і за величиною
, тобто
. Тому діамагнітний ефект малопомітний, цей ефект виникає у всіх речовинах, внесених у магнітне поле. Стрижень з діамагнітного матеріалу намагнічується в напрямку, протилежному до напрямку зовнішнього магнітного поля. Тому в неоднорідному магнітному полі діамагнетик виштовхується в область слабшого поля і встановлюється так, щоб його вісь була перпендикулярна до вектора магнітої індукції
поля. Якщо векторна сума орбітальних магнітних моментів усіх електронів атома або молекули не дорівнює нулю, то атом загалом має деякий магнітний момент
. Такі атоми (молекули) називаються парамагнітними, а речовини, що складаються з них – парамагнетиками. До парамагнетиків належать речовини, атоми яких мають незабудовану до кінця зовнішню електронну підоболонку: Mg, Al, Ca, Cr, Mn, Pt, кисень атомарний і молекулярний, солі заліза, кобальту, нікелю, рідкісноземельних елементів тощо. За відсутності зовнішнього магнітного поля парамагнетик ненамагнічений, оскільки внаслідок теплового руху власні магнітні моменти атомів орієнтовані хаотично
. При внесенні парамагнітної речовини в зовнішнє магнітне поле в ній поряд з слабким діамагнітним ефектом виникає переважна орієнтація елементарних магнітних моментів атомів у напрямку цього поля. При звичайних температурах парамагнітний ефект дещо сильніший за діамагнітний. Тому парамагнетики намагнічуються вздовж зовнішнього поля і підсилює його. Магнітна сприйнятливість парамагнетиків невелика, але за знаком додатна. За величиною вона в середньому на один порядок більша, ніж у діамагнетиків. У дуже сильних магнітних полях або при дуже низьких температурах спостерігається насиченість і тоді: намагніченість не залежить від
. Далеко від області насиченості
, де
– магнітна сприйнятливість парамагнетика, причому
і
Макроскопічно парамагнетизм виявляється в тому, що парамагнетики втягуються в неоднорідне магнітне поле, а в однорідному полі парамагнітний стрижень орієнтується паралельно до ліній індукції магнітного поля. При нагріванні парамагнетика, який внесений у зовнішнє магнітне поле, тепловий рух атомів зростатиме і руйнуватиме ту орієнтацію елементарних магнітних моментів частини атомів, яка встановилася під дією зовнішнього поля. Отже, магнітна сприйнятливість парамагнетиків
як величина, що характеризує з макроскопічного погляду магнітні властивості речовини, повинна залежати від T:
, де
– стала Кюрі. Це співвідношення виражає закон Кюрі: магнітна сприйнятливість парамагнетика обернено пропорційна до його термодинамічної температури. ( 63. Магнітне поле в речовині. Закон повного струму для магнітного поля в речовині. Напруженість магнітного поля При вивченні магнітного поля в речовині розрізняють два типи струмів: макроструми і мікроструми. Макрострумами називають електричні струми провідності, а також конвекційні струми, які зв’язані з рухом заряджених макроскопічних тіл. Мікрострумами, або молекулярними струмами, називають струми, які зумовлені рухом електронів в атомах, іонах і молекулах. Магнітне поле в речовині складається з двох полів: зовнішнього поля
, яке створюється макрострумами, і внутрішнього поля
, яке створюється молекулярними струмами. Вектор
магнітної індукції результуючого магнітного поля в речовині дорівнює векторній сумі магнітних індукцій зовнішнього і внутрішнього полів:
. Вектор
залежить від магнітних властивостей речовини. Для опису поля
, що створюється молекулярними струмами, розглянемо однорідний ізотропний діамагнетик у вигляді колового циліндра перерізом
і довжиною
, який внесений у однорідне зовнішнє магнітне поле з індукцією
(рис. 116). Внутрішнє поле, що виникає в діамагнетику, буде напрямлене протилежно зовнішньому. При цьому площини всіх молекулярних струмів розташовуються перпендикулярно до напрямку зовнішнього поля
так, що вектори їхніх магнітних моментів
будуть антипаралельні до вектора
. На внутрішніх ділянках будь-якого перерізу
циліндра молекулярні струми сусідніх атомів напрямлені назустріч один одному і взаємно компенсуються (рис. 116). Нескомпенсованими будуть лише молекулярні струми, які виходять на бічну поверхню циліндра. Струми, які проходять по бічній поверхні циліндра, подібні до струму в соленоїді. Вони утворюють всередині циліндра поле, магнітну індукцію якого
можна обчислити за допомогою такої формули:
. Закон повного струму для магнітного поля в речовині (теорема про циркуляцію вектора
) є узагальненням закону повного струму для магнітного поля у вакуумі:
, де
і
– відповідно, алгебраїчні суми сил макрострумів (струмів провідності) і мікрострумів (молекулярних струмів), що охоплюються заданим контуром. Обчислюючи циркуляцію вектора
в магнетиках, стикаємося з такою трудністю: для того, щоб визначити циркуляцію вектора
, треба знати силу не лише макроскопічних струмів, але також і молекулярних струмів. Сила ж молекулярних струмів у свою чергу залежить від значення вектора
. Шлях, щоб обійти це затруднення, такий: можна знайти таку допоміжну величину, циркуляція якої визначається лише силою макроскопічних струмів. Щоб встановити вигляд цієї допоміжної величини, виразимо силу молекулярних струмів
через намагніченість. Для цього розглянемо однорідний ізотропний діамагнетик у формі колового циліндра завдовжки
, що поміщений в зовнішнє магнітне поле (рис. 117). Виберемо контур L у вигляді прямокутника ABCD сторони BC, CD, DA якого лежать поза магнетиком, а сторона AB паралельна до напрямку магнітного поля і вектора намагніченості
(рис. 117). В усіх точках контуру L, які лежать поза магнетиком,
. У точках прямої AB вектори
і
паралельні, причому
і:
. Вектор
числово дорівнює сумі молекулярних струмів, що припадають на одиницю довжини магнетика. Отже,
дорівнює сумі молекулярних струмів, що припадають на всю довжину
магнетика, охоплених контуром L:
. Цей результат не залежить ні від форми контуру L, ні від форми і природи магнетика, ні від того, однорідне магнітне поле чи ні. Тоді закон повного струму для магнітного поля в речовині можна записати у вигляді
. Вираз в дужках
і є шукана допоміжна величина, циркуляція якої визначається лише макроскопічними струмами
. Вектор
називається напруженістю магнітного поля, а отримана формула виражає теорему про циркуляцію вектора
(або закон повного струму для магнітного поля в середовищі): циркуляція вектора напруженості магнітного поля по деякому контуру дорівнює алгебраїчній сумі макроскопічних струмів, що охоплюються цим контуром. У вакуумі
, тому
і
. Як показують досліди, в несильних полях намагніченість
прямо пропорційна до напруженості поля
, що викликає намагнічення, тобто
(
, де ( – магнітна сприйнятливість речовини. Тоді
(
, звідки

. Безрозмірна величина
( називається відносною магнітною проникністю речовини. Вираз для напруженості поля можна записати у вигляді
. Отже, напруженість магнітного поля
– це вектор, що має той же напрям, що і вектор
, але в
разів менший за модулем. § 64. Феромагнетики У дев’яти чистих хімічних елементів, а саме залізі (Fe), нікелі (Ni), кобальті (Co) і ланоганидах – гадолінію (Gd), тербію (Tb), диспрозію (Dy), гольмію (Ho), ербію (Er) і тулію (Ту) та їх численних сплавах виявлено властивість миттю намагнічуватися навіть у слабких магнітних полях. Усі вони утворюють групу сильномагнітних речовин – феромагнетиків. Феромагнетики підсилюють зовнішнє поле в сотні і тисячі разів. Експериментальне вивчення феромагнетиків розпочате О.Г. Столєтовим. Він дослідив залежність намагніченості заліза від напруженості магнітного поля. На рис. 118 показано залежність інтенсивності намагніченості заліза від напруженості
магнітного поля. Починаючи з деякого числового значення, вектор намагніченості є постійним і дорівнює
. Це явище Столєтов назвав магнітним насиченням. На рис. 119 зображено криву залежності магнітної індукції В від
. При
магнітна індукція
зростає за лінійним законом залежно від напруженості поля
. Це пояснюється тим, що намагніченість
при цій напруженості поля вже не змінюється і вектор магнітної індукції
залежить лише від напруженості
. Відносна магнітна проникність
феромагнетика спочатку швидко зростає із збільшенням
, досягає максимуму і потім спадає, прямуючи до одиниці при дуже сильних намагнічувальних полях (рис. 120). Залежність намагніченості
від напруженості поля
у змінному за величиною і напрямком зовнішньому магнітному полі визначається передісторією намагнічення феромагнетика (рис. 121). Це явище називається магнітним гістерезисом. В експериментах із залізом П. Кюрі встановив, що при певній температурі воно втрачає властивість феромагнетика і переходить в парамагнітний стан. Цю температуру називають точкою Кюрі. Залежність магнітної сприйнятливості феромагнетиків від абсолютної температури Т речовини у феромагнітному стані наближено описується законом Кюрі:
, де
і набуває різних значень у різних температурних інтервалах. Наприклад, при температурах
, близьких до точки фазового переходу
,
. Магнітна сприйнятливість феромагнетика в парамагнітній фазі змінюється за законом Кюрі – Вейса:
Класична теорія феромагнетизму була розроблена П. Вейсом. В основу цієї теорії покладено дві гіпотези. Перша гіпотеза полягає в тому, що в певній області температур (від
до
) феромагнетикам властива спонтанна намагніченість, яка не залежить від наявності зовнішнього магнітного поля. Проте досліди показали, що у разі відсутності зовнішнього магнітного поля, якщо не брати до уваги явище магнітного гістерезису, будь-яке феромагнітне тіло буде в цілому розмагнічене. Це примусило ввести другу гіпотезу про те, що при
будь-яке феромагнітне тіло розділяється на малі області, яким властива однорідна спонтанна намагніченість. Такі області називаються доменами. Лінійні розміри доменів досягають
см. Межі доменів (доменні стінки) не слід уявляти у вигляді геометричних площин. Фактично це області, що охоплюють сотні атомних шарів, в яких напрямок намагнічення змінюється монотонно. Коли зовнішнього магнітного поля немає, вектори магнітних моментів окремих доменів орієнтуються в просторі хаотично, так що результуючий магнітний момент усього тіла дорівнює нулю. Зовнішнє магнітне поле, яке діє на феромагнетики, орієнтує магнітні моменти не окремих частинок як у парамагнетиках, а цілих областей спонтанної намагніченості, домени починають збільшуватись в об’ємі за рахунок сусідніх доменів, що мають інші орієнтації намагніченості (рис. 122). При досить сильному полі
всі домени повертаються в напрямку поля і феромагнетик намагнічується до насичення. Феромагнітні властивості можуть мати лише кристалічні речовини, в атомах яких недобудовані внутрішні електронні оболонки з нескомпенсованими спінами. У цих кристалах можуть виникати сили, які примушують спінові магнітні моменти електронів орієнтуватися паралельно один до одного, що і призводить до виникнення областей спонтанного намагнічення. Ці так звані обмінні сили, мають квантову природу – вони зумовлені хвильовими властивостями електронів. ( 65. Явище електромагнітної індукції. Закон Ленца. Закон електромагнітної індукції (закон Фарадея) Після відкриття Ерстеда, в якому було доведено, що навколо провідників із струмом існує магнітне поле, природно було поставити питання про можливість утворення електричного струму у провідниках за допомогою магнітного поля. Це питання розв'язав М. Фарадей, в 1831 р., який показав, що в замкненому провіднику виникає електричний струм при будь-яких змінах магнітного потоку через площу, охоплену цим провідником. Явище виникнення у провіднику електрорушійної сили при зміні магнітного поля, що пронизує площу контуру провідника, називається електромагнітною індукцією. Якщо провідник замкнений, то в ньому виникне електричний струм. Струм, що виникає у провіднику при електромагнітній індукції, називається індукційним. Виникнення індукційного струму завжди пов'язане із зміною магнітного потоку через контур провідника. Ці зміни можуть відбуватися з різних причин, зокрема через: – переміщення постійного магніту відносно нерухомого провідника; – переміщення контура відносно нерухомого магніту; – замикання та розмикання струму в обмотці нерухомого електромагніту, розміщеного поблизу провідника; – відносне переміщення контура і електромагніту; – зміну індукції магнітного поля електромагніту (виймання осердя при стало-му струмі в обмотці або зміну струму реостатом); – зміну комутатором напрямку струму в обмотці електромагніту; – постійний рух контура в неоднорідному магнітному полі; – обертальний рух контура в однорідному магнітному полі. Отже, індукційний струм у замкненому контурі виникає тільки тоді, коли змінюється магнітний потік, який проходить через площу, охоплену контуром. Фарадей встановив, що напрямок індукційного струму в провіднику залежить від характеру зміни магнітного потоку (збільшення чи зменшення:
чи
) через його контур. Якщо при внесенні постійного магніту в котушку стрілка гальванометра відхиляється в один бік, то при вийманні магніту вона відхиляється в протилежний бік. Загальне правило, за допомогою якого можна визначити напрямок індукційного струму в замкненому провіднику, сформулював Е. Ленц: індукційний струм у замкненому провіднику завжди має такий напрямок, що створений цим струмом власний магнітний потік протидіє тим змінам зовнішнього магнітного потоку, які збуджують індукційний струм. Використовуючи закон Ленца для визначення напряму індукційного струму, треба: 1) знайти причину, яка створює індукційний струм; 2) вважаючи, що індукційний струм протидіє цій причині, знайти напрямок його магнітного поля; 3) визначити напрямок індукційного струму за напрямком його магнітного поля. Із закону Ленца слідує, що енергія індукційного струму у провіднику утворюється за рахунок тієї енергії, яка витрачається на подолання протидії магнітного поля індукційного струму. Завдяки явищу електромагнітної індукції можна перетворити механічну енергію в електричну, а також передавати електричну енергію з одного кола в інше. Індукційний струм
у замкненому провіднику з опором R виникає під дією
, яку можна виразити за законом Ома
. Оскільки та сама ЕРС у провідниках з різним опором створює неоднакові струми, то для кількісної характеристики явища електромагнітної індукції слід користуватися величиною
, а не силою індукційного струму
. Дослідження індукційного струму в контурах різної форми і розмірів показали, що ЕРС електромагнітної індукції
в контурі пропорційна до швидкості зміни магнітного потоку Ф через поверхню цього контура (закон Фарадея):
. ЕРС електромагнітної індукції в контурі вважають позитивною, якщо магнітний момент
відповідного їй індукційного струму утворює гострий кут з лініями магнітної індукції того поля, яке наводить цей струм (рис. 123). Тоді для випадку, зображеного на рисунку ліворуч,
, а для зображеного праворуч:
. В системі CІ
і
. Знак "–" є математичним виразом правила Ленца. Ця формула, яка об'єднує закони Фарадея і Ленца, є математичним виразом цього основного закону електромагнітної індукції: електрорушійна сила електромагнітної індукції в замкненому контурі числово дорівнює і протилежна за знаком швидкості зміні магнітного потоку крізь поверхню, обмежену контуром. Якщо ЕРС індукції виникає при зміні магнітного потоку, який пронизує котушку з N витків, то її величина буде відповідно в N разів більшою, ніж для одного витка, тобто
. На основі закону електромагнітної індукції можна означити одиницю магнітного потоку - вебер: 1Вб – це такий магнітний потік, при зменшенні якого до нуля протягом 1с в колі, яке він пронизував, виникає ЕРС індукції в 1В. ( 66. Явище самоіндукції. Індуктивність Навколо будь-якого провідника зі струмом існує магнітне поле, магнітна індукція
якого у точці, що лежить на відстані
від елемента
контуру струму
, дорівнює
. Виконав[ім’я автора приховано]
. Якщо цей контур обмежений поверхнею
, то магнітний потік, який створений власним магнітним полем контуру, через поверхню
дорівнює

де L – величина, яка називається індуктивністю контуру. З цієї формули випливає, що магнітний потік пропорційний струму, а індуктивність контуру залежить від геометричної форми контура, його розмірів та магнітної проникності середовища, в якому він знаходиться. Індуктивність контура числово дорівнює магнітному потоку, створеному одиничним струмом в контурі. При цьому вважається, що немає ніяких інших магнітних полів, крім магнітного поля, створеного струмом у контурі, що розглядається. Одиниця індуктивності – генрі (Гн): 1Гн – індуктивність такого контура, магнітний потік якого при струмі 1А дорівнює 1Вб. Обчислимо індуктивність соленоїда:
, де N – загальна кількість витків соленоїда,
– магнітний потік крізь площу S, обмежену одним витком:
, де
– довжина соленоїда. Індуктивність соленоїда дорівнює
, де
– об’єм соленоїда. Під час проходження по контуру непостійного струму магнітний потік змінюється і в контурі наводиться ЕРС індукції. Виникнення ЕРС індукції внаслідок зміни струму в колі називається явищем самоіндукції. ЕРС індукції у цьому випадку називається ЕРС самоіндукції:
. Якщо контур не деформується і магнітна проникність середовища не змінюється, то L=const і
. Знак "–", зумовлений правилом Ленца, показує, що наявність індуктивності в контурі приводить до сповільнення зміни струму в ньому. Тобто індуктивність контура є мірою його інертності відносно зміни струму. Якщо струм з часом збільшується, то
і
, тобто струм самоіндукції напрямлений назустріч струму, який зумовлений зовнішнім джерелом і гальмує його зростання. Якщо струм з часом зменшується, то
і
, тобто індукційний струм має такий напрямок, як і спадний струм в контурі, і сповільнює його зменшення. ( 67. Явище взаємної індукції Розглянемо два нерухомі контури, індуктивності яких
і
, і що розміщені досить близько (рис. 124). Якщо в контурі 1 тече струм
, то магнітний потік, що створюється цим струмом, пропорційний до
. Позначимо
ту частину потоку, яка пронизує контур 2. Тоді
, де
– коефіцієнт пропорційності. Якщо струм
змінюється, то в контурі 2 індукція ЕРС
, яка за законом Фарадея дорівнює швидкості зміни магнітного потоку
:
. Аналогічно, при протіканні в контурі 2 струму
магнітний потік пронизує перший контур. Якщо
– частина потоку, що пронизує контур 1, то
. Якщо струм
змінюється, то в контурі 1 індукується ЕРС
:
. Контури 1 і 2 називаються зв’язаними. Явище виникнення ЕРС в одному з контурів при зміні сили струму в іншому називається взаємоіндукцією. Коефіцієнти
і
називаються взаємною індуктивністю контурів. Розрахунки показують, що
=
. Коефіцієнти
і
залежать від геометричної форми, розмірів, взаємного розміщення контурів і від магнітної проникності середовища, яке оточує контури. ( 68. Енергія магнітного поля Провідник, по якому протікає електричний струм, завжди оточений магнітним полем, причому магнітне поле появляється і зникає разом з появою і зникненням струму. Отже, частина енергії струму йде на створення магнітного поля. Енергія магнітного поля дорівнює роботі, яка затрачається струмом на створення цього поля. Обчислимо енергію магнітного поля струму в найпростішому випадку ізотропного середовища, в якого зв'язок індукції з напруженістю поля в ньому лінійний. Для цього розглянемо соленоїд з N витків, який має індуктивність L. Якщо за час dt струм у соленоїді зростає на величину dІ, то при цьому змінюється і її власний магнітний потік відповідно на величину
. Якщо в момент часу t сила струму в соленоїді становила І, то при зміні магнітного потоку на величину dФ, джерелом струму виконується додаткова робота dA:
. Оскільки соленоїд залишається нерухомим, то ця елементарна робота dA пов'язана із зміною енергії соленоїда, яка зумовлена наявністю в ньому магнітного поля, на величину dWм:
і
. Оскільки dФ=LdІ, то dWм=LIdI.
;
. Це та енергія, яку було затрачено джерелом струму на утворення в соленоїді магнітного поля. За законом збереження енергії ця енергія дорівнює енергії магнітного поля W, яке пов’язане зі струмом
, що проходить по провіднику з індуктивністю
. Дослідження властивостей змінних магнітних полів було доказом того, що енергія магнітного поля локалізована у просторі. Енергію магнітного поля струму можна визначити через характеристики цього поля – значення його напруженості H та індукції В. Для цього розглянемо частковий випадок – однорідне магнітне поле всередині довгого соленоїда, індуктивність якого
. Тоді
. Магнітна індукція поля всередині довгого соленоїда
. Звідси
. Тоді
. де враховано, що
. Магнітне поле соленоїда однорідне і зосереджене всередині соленоїда, а енергія поля розподілена в ньому з постійною об'ємною густиною
, яка дорівнює
. Одержаний вираз для
відрізняється від виразу для густини енергії електричного поля лише тим, що електричні величини в ній замінені відповідними магнітними. У випадку неоднорідного магнітного поля його енергію в деякому об'ємі V можна визначити так. Поділимо об'єм V на нескінченно малі елементи dV так, щоб поле в кожному з них можна було вважати однорідним. Тоді енергія елемента об'єму з локальною густиною
в ньому дорівнює:
. Інтегруючи цей вираз по всьому об'єму поля V, отримаємо формулу для обчислення енергії неоднорідного поля:
. § 69. Основи теорії Максвелла для електромагнітного поля. Струм зміщення У 60-х роках XIX століття Д. Максвелл, взявши за основу ідеї Фарадея про електричне і магнітне поле, узагальнив закони, виведені експериментально, і розробив завершену теорію єдиного електромагнітного поля, яке утворюється довільною системою зарядів і струмів. Теорія Максвелла є феноменологічною теорією електромагнітного поля. Це означає, що внутрішній механізм явищ, які відбуваються в середовищі і викликають появу електричних і магнітних полів, у теорії не розглядається. Електричні і магнітні властивості середовища характеризуються у теорії Максвелла трьома величинами: відносною діелектричною проникністю
, відносною магнітною проникністю
і питомою електропровідністю
. Залежність цих величин від властивостей середовища, фізичний зміст тих явищ, які відбуваються у ньому при поляризації і намагнічуванні, у теорії Максвелла не досліджуються. Теорія Максвелла є макроскопічною теорією електромагнітного поля. У ній розглядаються електричні і магнітні поля, які утворюються в об’ємах набагато більших, ніж об’єми окремих атомів і молекул. Крім того, припускається, що відстані від джерел полів до розглядуваних точок у багато разів більші від розмірів молекул. У теорії Максвелла розглядаються усереднені електричні і магнітні поля, причому усереднення відповідних мікрополів виконується для інтервалів часу, значно більших від періодів обертання або коливання електричних зарядів, і для ділянок поля, об’єми яких у багато разів більші від періодів обертання або коливання електричних зарядів, а також для ділянок поля, об’єми яких багато більші від об’ємів атомів і молекул. Теорія Максвелла є теорією близькодії, згідно з якою електричні і магнітні взаємодії здійснюються за допомогою електричних і магнітних полів та поширюються із скінченною швидкістю. Максвелл узагальнив закон електромагнітної індукції для замкненого нерухомого провідного контуру, що знаходиться у змінному магнітному полі. Із закону Фарадея
випливає, що будь-яка зміна зчепленого з контуром потоку магнітної індукції приводить до виникнення ЕРС індукції і внаслідок цього виникає електричний струм (струм індукції). Отже, виникнення ЕРС індукції можливо і в нерухомому контурі, що знаходиться в змінному магнітному полі. Однак ЕРС в контурі виникає лише тоді, коли в ньому на носії струму діють сторонні сили – сили неелектростатичного походження. Тому виникає питання про природу сторонніх сил в даному випадку. Досліди показують, що сторонні сили не зв’язані ні з тепловими, ні з хімічними процесами в контурі. Їх не можна пояснити силами Лоренца, оскільки вони не діють на нерухомі заряди. Тому для пояснення явища електромагнітної індукції в нерухомих провідниках Максвелл висунув гіпотезу, що змінне магнітне поле збуджує в навколишньому просторі непотенціальне (тобто неелектростатичне) електричне поле, яке і є причиною виникнення індукційного струму в контурі. Якщо
– напруженість цього індукованого електричного поля, то відповідно до означення електрорушійної сили
ЕРС індукції в нерухомому провіднику є
. Оскільки
, то
, і
, Отже, циркуляція напруженості
індукованого поля вздовж замкненого контуру
дорівнює
Тут
, де
– одиничний вектор нормалі до малого елемента
поверхні
, яка натягнута на замкнений контур
. Отже, змінне магнітне поле створює в провідному замкненому контурі вихрове електричне поле, оскільки
В той же час циркуляція вектора електростатичного поля по довільному замкненому контурі дорівнює нулеві:
. Максвелл припустив, що змінне магнітне поле у будь-якій точці простору створює вихрове електричне поле незалежно від того чи міститься у цій точці провідник, чи ні. Максвелл узагальнив закон повного струму
. Він припустив, що, крім струмів, зв’язаних з впорядкованим рухом зарядів, джерелом виникнення магнітного поля є також змінне електричне поле. За теоремою Остроградського – Ґаусса потік вектора електричного зміщення через довільну замкнену поверхню
дорівнює
, де
– алгебраїчна сума електричних зарядів, що охоплені замкненою поверхнею. Продиференціюємо цей вираз по часу
. Якщо поверхня
нерухома і не деформується, то зміна в часі потоку зміщення через поверхню
зумовлюється лише зміною електричного зміщення
з бігом часу. Тому повну похідну можна замінити частинною похідною по часу і диференціювання внести під знак інтеграла
Порівнюючи цей вираз з формулою, яка зв’язує силу струму
в провіднику і густину
струму провідності
=
, бачимо, що
має розмірність густини струму. Максвелл запропонував назвати
густиною струму зміщення:
. Густина струму зміщення в даній точці рівна швидкості зміни вектора електричного зміщення в цій точці. Струмом зміщення через довільну поверхню S називають фізичну величину, яка дорівнює потоку вектора густини струму зміщенння крізь цю поверхню
. Ввівши уявлення про струм зміщення, Максвелл зробив висновок про те, що кола будь-яких непостійних струмів замкнені так само, як і кола постійного струму. Замкненість таких кіл забезпечується струмами зміщення, які “проходять” у тих ділянках, де немає провідників, наприклад, між обкладинками конденсатора під час його заряджання або розряджання. На рис. 125 зображені вектори густини струмів зміщення і вигляд ліній індукцій їхніх магнітних полів при заряджанні конденсатора (посилення електричного поля); а на рис. 126 – при розряджанні конденсатора (ослаблення електричного поля). За Максвеллом струм зміщення, як і звичайні струми провідності, є джерелом виникнення вихрового магнітного поля, циркуляція напруженості
якого по замкненому контуру не дорівнює нулю. В загальному випадку струми провідності і зміщення в просторі не розділені, вони знаходяться в одному і тому самому об’ємі. Максвелл ввів поняття повного струму, що дорівнює сумі струмів провідності і конвекційних, а також струму зміщення. Густина повного струму
. Повний струм в колах змінного струму завжди замкнений. Максвелл узагальнив закон повного струму, ввівши в його праву частину повний струм
, що охоплюється замкненим контуром L. Узагальнений закон повного струму має вигляд
. Циркуляція вектора напруженості
магнітного поля по замкненому контуру L дорівнює повному струму, що пронизує поверхню обмежену контуром. ( 70. Рівняння Максвелла для електромагнітного поля Відкриття струму зміщення дало змогу Максвеллу створити єдину теорію електричних і магнітних явищ. Ця теорія пояснила відомі експериментальні факти і передбачила ряд нових явищ, існування яких підтвердилось пізніше. Рівняння Максвелла пов’язують зміни основних характеристик електромагнітного поля – векторів

в даному матеріальному середовищі з розподілом у ньому електричних зарядів і струмів. Середовище в рівняннях Максвелла враховується феноменологічно, тобто без розкриття внутрішнього механізму взаємодії речовин з полем. В основі теорії Максвелла лежать чотири рівняння. 1. Електричне поле може бути як потенціальним (
), так і вихровим (
). Тому напруженість сумарного поля
. Оскільки циркуляція вектора
по довільному замкненому контуру дорівнює нулю, то циркуляція вектора
сумарного поля
. Це рівняння зв’язує значення
із зміною вектора
з часом і є виразом закону електромагнітної індукції. Отже, перше рівняння Максвелла вказує на те, що джерелами електричного поля можуть бути не тільки електричні заряди, але і змінні з часом магнітні поля. 2. Друге рівняння або узагальнена теорема про циркуляцію вектора
:
. Це рівняння показує, що магнітні поля можуть збуджуватись або рухомими зарядами, або змінними електричними полями. 3. Теорема Остроградського – Ґаусса для потоку вектора електричного зміщення
крізь довільну замкнену поверхню
, що охоплює сумарний заряд
:
. Якщо заряд розподілений всередині замкненої поверхні з об’ємною густиною
, то
. 4. Теорема Остроградського – Ґаусса для магнітного потоку крізь довільну замкнену поверхню
:
. Величини, що входять в рівняння Максвелла, не є незалежними і між ними є такий зв’язок:
,
,
. Зазначимо, що до першого та четвертого рівняння Максвелла входять лише основні характеристики поля
і
, а в друге і третє – лише допоміжні величини
і
. Рівняння Максвелла несиметричні відносно полів. Це зв’язано з тим, що в природі існують електричні заряди, а нема магнітних. Для стаціонарних полів (
i
) рівняння Максвелла мають такий вигляд:
,
,
,
. У даному випадку електричні і магнітні поля існують незалежно. § 71. Основні властивості електромагнітних хвиль Згідно з теорією Максвелла змінне електричне і магнітне поле тісно взаємозв’язане, вони утворюють єдине електромагнітне поле. Джерелами електромагнітного поля служать різні змінні струми: змінний струм у провідниках, коливний рух іонів, електронів й інших заряджених частинок. Простою системою, яка еквівалентна змінному струму, є електричний диполь з моментом, що гармонічно змінюється. В початковий момент заряди
і
такого диполя суміщені один з одним і тому
(рис. 127). Через чверть періоду заряди розходяться на максимальну відстань
, момент диполя максимальний і
. Через півперіод заряди знову сходяться (
), а потім через
розходяться в протилежні сторони на відстань
і
. Потім процес періодично повторюється. Змінне електричне поле, яке виникає під час руху зарядів, породжує змінне магнітне поле, а змінне магнітне поле створює змінне електричне поле. Ці вторинні змінні поля мають вихровий характер. У просторі, який оточує заряди, виникає послідовність взаємних перетворень електричних і магнітних полів, що поширюються від точки до точки. Цей процес буде періодичним у часі і просторі і, отже, є хвилею. Електромагнітними хвилями називаються збурення електромагнітного поля, що поширюються у просторі. З рівнянь Максвелла
,
можна отримати рівняння плоскої електромагнітної хвилі. Хвильове рівняння для
має вигляд:
, а для
:
. Отже, змінне електромагнітне поле поширюється в просторі у вигляді електромагнітної хвилі. Фазова швидкість електромагнітних хвиль визначається виразом
, де
– електродинамічна стала. Для вакууму
і
. Оскільки
, то швидкість поширення електромагнітних хвиль у речовині завжди менша, ніж у вакуумі. Величина
збігається зі швидкістю світла у вакуумі. Це привело Максвелла до думки про електромагнітну природу світла. З рівнянь Максвелла випливає висновок про те, що вектори
і
електромагнітної хвилі завжди взаємно перпендикулярні. Крім того, вони лежать у площині, перпендикулярній до напрямку поширення хвилі, тобто до вектора швидкості хвилі. Отже, електромагнітні хвилі є поперечними. Взаємна орієнтація трійки векторів
,
, і
задовольняє таке правило: з кінця вектора
обертання від
до
по найкоротшому шляху виглядає таким, що відбувається проти руху стрілки годинника (рис. 128). Розв’язками отриманих хвильових рівнянь є функції
де
– циклічна частота хвилі,
– хвильове число, яке дорівнює
,
– початкові фази коливань в точках з координатою
. Використовуючи хвильові рівняння для
і
і функції
і
, можна показати, що
. Отже, коливання електричного і магнітного векторів у електромагнітній хвилі відбувається з однаковою фазою (
=
) – вони одночасно досягають максимальних значень і одночасно перетворюються в нуль, а амплітуди цих векторів зв’язані співвідношенням
. Рівняння плоскої електромагнітної хвилі у векторній формі має вигляд
Косинусоїдальна електромагнітна хвиля зветься монохроматичною хвилею. В кожній точці електромагнітного поля монохроматичної хвилі проекції векторів
та
на осі координат інерціальної системи відліку здійснюють гармонічні коливання однакової частоти
, яка називається частотою хвилі. На рис. 129 наведені вектори
і
поля плоскої монохроматичної хвилі в один і той самий момент часу. У фіксованій точці простору вектори
і
змінюються з часом за гармонічним законом. Довжина
, період
, частота
і швидкість поширення електромагнітної хвилі звязані між собою співвідношеннями
. § 72. Енергія електромагнітних хвиль. Потік енергії. Вектор Умова – Пойтинга Електромагнітне поле має енергію. Тому поширення електромагнітних хвиль пов’язане з перенесенням енергій в полі, подібно до того, як поширення пружних хвиль у речовині пов’язане з перенесенням механічної енергії. Об’ємна густина енергії електромагнітної хвилі складається з об’ємних густин і електричного, і магнітних полів:
. Враховуючи вираз
, отримаємо, що густина енергії електричного і магнітного полів в кожен момент часу однакова, тобто
. Тому
. У випадку плоскої лінійно-поляризованої монохроматичної хвилі, що поширюється вздовж додатного напрямку осі ОX, напруженість поля
. Відповідно об’ємна густина енергії цієї хвилі
. Значення w в кожній точці поля періодично змінюється з частотою
в границях від 0 до
. Середнє значення w за період пропорційне до квадрата амплітуди напруженості поля:
Помноживши густину енергії w на швидкість
поширення хвилі в середовищі, отримаємо модуль густини потоку енергії, який числово дорівнює енергії, яку переносить хвиля за одиницю часу через одиницю площі поверхні, що розміщена перпендикулярно до напрямку поширення хвилі:
. Оскільки вектори
і
взаємно перпендикулярні і утворюють з напрямком поширення хвилі правогвинтову систему, то напрямок вектора
збігається з напрямком переносу енергій, а модуль цього вектора дорівнює EH. Отже, вектор густини потоку енергії електромагнітної хвилі, який називається вектором Умова – Пойтинга, дорівнює:
. Потік Ф електромагнітної енергії через деяку поверхню S можна знайти за допомогою інтегрування:
. Інтенсивність електромагнітної хвилі
дорівнює модулю середнього значення вектора Умова – Пойтинга за проміжок часу, який дорівнює періоду Т повного коливання:
. Інтенсивність біжучої монохроматичної хвилі
. Інтенсивність плоскої лінійно поляризованої монохроматичної біжучої хвилі прямо пропорційна до квадрата амплітуди
коливань вектора
поля хвилі:
.