У роботі розглядаються
- Механічні коливання
- Фігури Ліссажу
- Згасаючі коливання
- Вимушені коливання і резонанс
- Пружні хвилі
- Інтерференція хвиль
- Стоячі хвилі
- Рівняння Бернуллі
Механічні хвилі та коливання
Інформація про навчальний заклад
ВУЗ:
Київський національний університет імені Тараса Шевченка
Інститут:
Юридичний факультет
Факультет:
Інженерно-теплофізичний факультет
Кафедра:
Не вказано
Інформація про роботу
Рік:
2026
Тип роботи:
Лекція
Предмет:
Фізика
Група:
ФІЗ-11
Коротко про документ
Про що ця робота
У документі розглядаються основні закони механічних коливань та хвиль, зокрема взаємно перпендикулярні коливання, фігури Ліссажу, згасаючі та вимушені коливання, а також хвильові процеси і рівняння Бернуллі. Наведено ключові фізичні формули, характеристики коливальних систем та їх теоретичний аналіз.
Зміст і розділи
- Додавання взаємно перпендикулярних коливань
- Диференціальне рівняння згасаючих коливань і його розв’язання
- Диференціальне рівняння вимушених коливань і його розв’язання. Резонанс
- Утворення хвиль в пружному середовищі
- Енергія хвилі
- Інтерференція хвиль. Рівняння стоячої хвилі
- Рівняння нерозривності. Рівняння Бернуллі
Для кого:Студенти вищих навчальних закладів технічних та природничих спеціальностей
Викладачі:Кремер
Ключові поняття
коливанняфігури Ліссажузгасаючі коливаннярезонансдобротністьмеханічна хвилядовжина хвилівектор Умоваінтенсивність хвиліінтерференціястояча хвилярівняння Бернуллі
Частина тексту файла (без зображень, графіків і формул):
( 14. Додавання взаємно перпендикулярних коливань
Нехай матеріальна точка одночасно бере участь у двох гармонічних коливаннях з однаковою частотою у двох взаємно перпен дикулярних напрямках як вздовж осі Х, так і вздовж осі (рис. 21). Якщо збудити обид ва коливання, матері альна точка буде ру хатись по деякій кри волінійній траєкторії, форма якої залежить від різниці фаз обох коливань.
Виберемо початок відліку часу так, щоб початкова фаза першого коливання дорівнювала нулю. Тоді рівняння коливань матимуть такий вигляд:
, ,
де – різниця фаз обох коливань.
Ці вирази – параметрична форма рів няння траєкторії, по якій рухається точка, що бере участь в обох коливаннях.Щоб отрима ти рівняння траекторії у звичайному вигляді, треба виключити з цих рівнянь параметр .
В результаті отримаємо
.
Це рівняння еліпса, осі якого повернуті відносно координатних осей і . Орієнта ція еліпса і величина його півосей залежить від амплітуд і і різниці фаз .
Розглянемо частинні випадки.
1)
Тоді
;
звідси
.
Результуюче коливання є гармоніч ним вздовж прямої з частотою і ампліту дою (рис. 22). Пряма утворює з віссю кут .
2)
У цьому випадку
;
і
.
Результуючий рух – це гармонічне коливання вздовж прямої (рис. 23).
3)
В результаті .
Це рівняння еліпса, осі якого збіга ються з осями координат, а його півосі дорів нюють відповідним амплітудам (рис. 24). Як що А = В, то еліпс вироджується в коло.
Якщо частоти взаємно перпендику лярних коливань, що додаються, різні, то замкнена траєкторія результуючого коли вання досить складна.
Замкнені тра єкторії, що кресляться точкою, яка здійснює одночасно два взаємно перпендикулярні коливання, називаються фігурами Ліссажу. Форма цих кривих залежить від співвідно шення амплітуд, частот і різниці фаз ко ливань, що додаються.
( 15. Диференціальне рівняння згасаючих коливань і його розв’язання
Усі реальні коливальні системи є дисипативними. Енергія механічних коли вань такої системи поступово витрачається на роботу проти сил опору, тому вільні ко ливання завжди згасаючі – їх амплітуда поступово зменшується.
Для пружинного маятника масою , що здійснює малі коливання під дією пру жної сили , сила опору пропорцій на до швидкості, тобто
, ,
де – коефіцієнт опору.
Другий закон Ньютона для згаса ючих коливань має такий вигляд:
Введемо позначення
, ,
де – коефіцієнт згасання, а – частота з якою здійснювались би вільні коливання при відсутності опору середовища. Цю час тоту називають власною частотою системи.
Тоді другий закон Ньютона можна записати у вигляді
.
Розв’язок цього рівняння має вигляд
,
де - амплітуда згасаючих коли вань, а – початкова амплітуда.
Амплі туда згасаючих коливань зменшується з плином часу і тим скоріше, чим більший коефіцієнт опору і чим менша маса коливного тіла.
Величина є власною циклічною частотою коливань дисипативної системи.
Графік залежності від часу наве дений на рис. 25.
Згасаючі коливання – неперіодичні коливання, бо в них ніколи не повторюють ся, наприклад, максимальні значення змі щення, швидкості і прискорення. Однак при згасаючих коливаннях величина пе ретворюється в нуль, змінюючись в один і той самий бік, а також досягає максималь них і мінімальних значень через однакові проміжки часу:
.
Величину тому називають пері одом згасаючих коливань.
Якщо і – амплітуди двох послідовних коливань, що йдуть одне за одним через проміжок часу , то відно шення
називається декрементом згасання, а його натуральний логарифм
(
– логарифмічний декремент загасання.
Позначимо проміжок часу, про тягом якого амплітуда коливань змен шу ється в разів.
Тоді
Звідси або .
Коефіцієнт загасання є фізична величина, обернена до проміжку часу, про тягом якого амплітуда зменшується в разів. Час називається часом релаксацій.
Нехай – кількість коливань, після яких амплітуда коливань зменшується в разів.
Тоді
, (.
Логарифмічний декремент згасання ( є фізична величина, обернена до кількості коливань N, після закінчення яких ампліту да зменшується в разів.
Добротністю коливальної систе ми називається величина , яка дорівнює добутку на відношення енергії ко ливальної системи в довільний момент часу до зменшення цієї енергії за проміжок часу від до :
.
( 16. Диференціальне рівняння вимушених коливань і його розв’язання. Резонанс
Розглянемо коливання, що їх здій снює система, якщо на неї, крім пружної сили і сили опору , діє ще додаткова періодична сила , яку називатимемо ви мушуючою силою і яка змінюється за гар монічним законом
.
Диференціальне рівняння вимуше них коливань, що відбувається вздовж осі , має такий вигляд:
де , , .
Припустимо, що усталені вимуше ні ко ливання системи, які виникають під дією сили , також є гармонічними:
,
причому їх циклічна частота дорівнює цик лічній частоті вимушуючої сили.
Задача полягає в знаходженні ам плі туди і початкової фази .
Підставивши вирази для , і у диференційне рівняння вимушених коли вань, отримуємо:
де введено позначення
, , , .
Щоб додати ці коливання, викорис таємо метод векторних діаграм. Відкладемо під кутом до осі ОХ за годинниковою стрілкою вектор , потім під кутом відносно вектора проти годинникової стрілки побудуємо вектор і вектор , який повернутий на кут відносно вектора . Додавши три вектори , , , от римаємо вектор (рис. 26).
З рис. 26 видно, що
,
і, відповідно,
Звідси
.
Амплітуда усталених вимушених ко ливань прямо пропорційна до амплітуди вимушуючої сили , обернено пропорцій на масі системи і зменшується із збіль шенням коефіцієнта згасання.
Із рис. 26 можна отримати значення кут – як зсув фаз між зміщенням і вимушую чою силою:
Розв’язок диференціального рівняння вимушених коливань дорівнює сумі загального розв’язку однорідного рівняння
, де і частинного розв’язку неоднорідного рівняння. Доданок відіг рає роль лише на початковій стадії процесу виникнення коливань.
Якщо , і сталі, то амплітуда усталених вимушених коливань залежить тільки від співвідношення між циклічними частотами вимушуючої сили () і вільних коливань системи ().
Розглянемо залежність амплітуди вимушених коливань від частоти і по будуємо криві (рис. 27) при різ них значеннях коєфіцієнта загасання . Чим менше , тим вище і правіше лежить максимум кривої. Якщо =, то
.
в такому разі коливання не здійснюються, а відхилення називається статичною ам плітудою. При всі криві асиптомічно прямують до нуля. Якщо згасання немає (), то амплітуда коливань зростає із зростанням циклічної частоти вимушу ючої сили і при стає нескінченно великою.
Якщо є загасання (), то амплі туда досягає максимального значення, коли вираз , що є в зна меннику співвідношення для , досягає мі німуму. Це відбувається, коли
Виконуючи диференціювання, отримуємо
Це рівняння має два розв’язки: =0, . Розв’язок =0 відповідає максимуму знаменника виразу для . Із інших двох розв’язків лише до датний має фізичний сенс. Отже, резонан сна частота – частота, при якій ам плітуда коливань досягає максимального значення, – має такий вигляд:
.
Явище різкого зростання амплітуди вимушених коливань при наближенні час тоти вимушуючої сили до частоти називається резонансом.
Для консервативної системи , а для дисипативної системи трохи менша від власної частоти системи.
Підставивши у вираз для амплі туди , отримаємо вираз для амплітуди при резонансі:
При малому згасанні ((() ам плітуда при резонансі приблизно дорівнює
де – добротність коливної системи.
От же, добротність характеризує резонансні властивості коливної системи: чим більше значення , тим більше .
З виразу видно, що у випадку зміщення коливної системи і вимушуюча сила мають однакові фази; у всіх інших випадках . Залежність від при різних значеннях наведена на рис. 28.
( 17. Утворення хвиль в пружному середовищі. Поздовжні і поперечні хвилі. Рівняння біжучої хвилі
Розглянемо пружне середовище, між частинками якого існують сили взаємодії, що перешкоджають тому або іншому виду його деформації. Тіло, яке коливається в пружному середовищі, періодично діє на прилеглі до нього частинки середовища, виводячи їх з положення рівноваги і змушу ючи здійснювати вимушені коливання. При цьому середовище поблизу тіла деформу ється і в ньому виникають пружні сили. Ці сили діють як на прилеглі до тіла частинки, намагаючись повернути їх у положення рівно ваги, так і на віддаленіші від тіла частинки, виводячи їх з положення рівноваги. Від даленіші від тіла області середовища посту пово втягуються в коливальний рух.
Процес поширення коливань в суціль ному середовищі, яке неперервно розподіле не в просторі і має пружні властивості, називається механічним хвильовим проце сом, або механічною хвилею.
При поширенні хвилі частинки се-редовища не рухаються разом з хвилею, а коливаються біля свого положення рівноваги. Основна властивість всіх хвиль є перенос енергії без переносу речовини.
Пружними (або механічними) хвиля ми називаються механічні збурення, що по ширюються у пружному середовищі. Пружні хвилі бувають поперечні і поздовжні.
У поперечних хвилях частинки се-редовища коливаються в площинах, які перпендикулярні до напрямку поширення хвилі (рис. 29). Поперечні хвилі можуть по ширюватись в середовищі, в якому вини кають пружні сили при деформації зсуву, тобто лише у твердих тілах.
У поздовжніх хвилях частинки ко-ливаються в напрямку поширення хвилі (рис. 30). Ці хвилі можуть поширюватись в середовищах, в яких виникають пружні сили при деформації стиску і розтягу, тобто у твердих, рідких і газоподібних тілах.
Пружна хвиля називається гармо-нічною, якщо відповідні їй коливання частинок середовища є гармонічними.
Нехай поперечна гармонічна хвиля поширюється вздовж осі .
На рис. 31 наведено залежність між зміщенням частинок середовища, що бе руть участь у хвильовому процесі, і відстан ню цих частинок від джерела коливань для якогось фіксованого моменту часу.
Відстань між найближчими частинками, що коливаються в однаковій фазі, на зивається довжиною хвилі . Довжина хвилі дорівнює тій відстані, на яку поши рюється певна фаза коливань за період:
і .
Нехай точка, від якої йдуть коливан ня, коливається в суцільному середовищі. Коливання поширюються від центра у всі боки. Поверхня, до якої дохо дить ко ли ван ня в деякий момент часу, на зи вається фронтом хвилі. Фронт хвилі – це по верхня, яка відокремлює частину прос то ру, уже залучену у хвильовий процес, від об ласті, в якій коливання ще не виникли.
Поверхня, в якій всі частинки коли ваються в однаковій фазі, називається хви льовою.
Хвильову поверхню можна провес ти через довільну точку простору, який охоплений хвильовим процесом. Отже, хви льових поверхонь існує нескінченна мно жина, а хвильовий фронт в кожний момент часу лише один. Хвильові поверхні зали шаються нерухомими, а хвильовий фронт весь час переміщується. Хвильові поверхні можуть бути до вільної форми.
Хвиля називається плоскою, якщо її хвильові поверхні мають вигляд площин, які паралельні площині, що проходить че рез джерело хвиль.
Хвиля називається сферичною, якщо її хвильові поверхні мають вигляд кон центричних сфер. Центр цих сфер назива ється центром хвилі.
Напрямки, в яких поширюються ко ливання, називаються променями. В ізо тропному середовищі промені перпендику лярні до фронту хвилі.
Поширення в пружному середовищі механічних збурень, збуджених джерелом хвиль, пов’язане з перенесенням хвилями енергій. Такі хвилі називаються бі жучими хвилями.
Рівнянням хвилі називається ви раз, який дає зміщення коливної частин ки як функцію її координаті часу .
Розглянемо плоску хвилю, яка по- ши рюється вздовж осі і збуджується в площині (рис. 32). Нехай коливання в цій площині мають вигляд:
.
Знайдемо вигляд коливання частинок у площи ні, що відповідає довільному значен ню . Для того, щоб пройти шлях від площини до цієї площини, хвилі потрібен час ,
де – швидкість поширення хвилі. Отже, коливан ня частинок, що лежать у площині , будуть запізнюватись на час від коливань части нок у площині , тобто матимуть вигляд:
Введемо величину, яка називається хвильовим числом:
.
Тоді рівняння біжучої плоскої хвилі, що по ширюється вздовж осі , має такий вигляд:
,
де – амплітуда коливань, що називається ам плітудою хвилі; – циклічна частота хвилі; – початкова фаза коливань в площи ні . Величина дорівнює фазі коливань у довільній площині з коорди натою і називається фазою плоскої хвилі.
Зафіксуємо певне значення фази:
.
Цей вираз визначає зв’язок між ча сом і тим місцем , в якому фаза має зафік соване значення. Величина дає швидкість, з якою переміщається дане значення фази. Продиференціюємо вираз для фази:
.
Звідси
.
Отже, швидкість поширення хвилі є швидкістю переміщення фази хвилі і її називають фазовою швидкістю.
Якщо плоска хвиля поширюється в довільному напрямку, то
,
де – вектор, який дорівнює за моду лем хвильовому числу і має напрям нормалі до хвильової поверхні.
( 18. Енергія хвилі
Нехай в деякому середовищі поши рюється в додатному напрямку осі плоска хвиля
.
Визначимо зміну енергії малого об’є му пружного середовища, пов’язану з поширенням у середовищі плоскої хвилі. Оскільки об’єм дуже малий, то можна вважати, що всі частинки середовища, які містяться в цьому об’ємі, коливаються в од ній фазі, так що їх швидкості однакові і . Тому кінетична енергія об’єму , яка пов’язана з коливальним рухом,
Визначаючи роботу деформації об’єму середовища під час хвильового руху, можна показати, що потенціальна енергія об’єму середовища дорівнює його кіне тичній енергії:
.
Повна механічна енергія коливального руху об’єму дорівнює
Об’ємна густина енергії хвиль у пружному середовищі є:
.
Густина енергії в кожний момент ча су в різних точках простору різна. В одній і тій же точці густина енергії змінюється з часом за законом квадрату синуса. Середнє значення квадрата синуса до рівнює . Від повідно середнє за часом значення об’ємної густини енергій в кожній точці середовища дорівнює:
((.
Поширення хвиль у пружному середо вищі нерозривно пов’язане з процесом пере давання енергії від одних ділянок середови ща до інших. Саме тому при хвильовому русі об’ємна густина енергії коливань у кожній точці середовища змінюється в часі.
Об’ємна густина енергії
Швидкість u поширення енергії хвилі дорівнює швидкості переміщення в просторі поверхні, яка відповідає максимальному зна ченню об’ємної густини енергії w. Рівняння поверхні має вигляд:
Продиференціюємо цей вираз
Звідси швидкість переміщення поверхні
Отже, швидкість поширення енергії хвилі збігається з фазовою швидкістю хвилі.
Для характеристики процесу пере- несення енергії хвилями введемо поняття про потік енергії. Потоком енергії крізь яку-небудь поверхню площею називаєть ся фізична величина, яка числово дорівнює кількості енергії , яка передається через цю поверхню за одиницю часу:
.
Знайдемо потік енергії хвилі, що ру хається з фазовою швидкістю , через площину (рис. 33). За час хвиля пе ренесе перенесе енергію, що міститься все редині косого циліндра, об’єм якого
Тоді і потік енергії , де – об’ємна густина енергії хвилі, – вектор площини .
Для характеристики потоку енергії в різних точках простору вводиться векторна величина , яка називається густиною потоку енергії. Густина потоку енергії – векторна величина, яка напрямлена у бік поширення хвилі і числово дорівнює потоку енергії крізь одиницю площі повер хні, яка розташована перпендикулярно до напрямку поширення хвилі:
.
Оскільки швидкість – це вектор, модуль якого дорівнює фазовій швидкості хвилі, а напрямок збігається з напрямком поширен ня хвилі (і перенесення енергії), то
.
Вектор густини потоку енергії хви лі, який називається вектором Умова, до рівнює добутку вектора швидкості поши рення енергії хвилі на величину її об’ємної густини.
Вектор в різних точках простору має неоднакові значення, а в даній точці простору змінюється з часом за законом квадрата синуса. Середнє значення вектора Умова:
.
Знаючи у всіх точках довільної поверхні S, можна обчислити потік енергії через цю поверхню:
Скалярна величина І, яка дорівнює модулю середнього значення вектора Умо ва, називається інтенсивністю хвилі:
.
Інтенсивність хвилі числово дорів нює енергії, яка переноситься хвилею за одиницю часу через одиницю площі повер хні, яка перпендикулярна до напрямку по ширення хвилі:
.
Інтенсивність синусоїдальної хвилі пропорційна до квадрата її амплітуди.
( 19. Інтерференція хвиль. Рівняння стоячої хвилі
Якщо в середовищі є декілька джерел коливань, то хвилі, які поширюються від них, йдуть незалежно одна від одної і після вза ємного перетину розходяться далі так, ніби такої зустрічі і не було. Це положення нази вається принципом суперпозиції.
В місцях зустрічі хвиль коливання середовища, які викликані кожною з хвиль, складаються одне з одним. Результат дода вання (результуюча хвиля) залежить від співвідношення фаз, періодів і амплітуд хвиль, що накладаються.
Узгоджене проходження в часі і просторі декількох коливань або хвильових процесів пов’язується з поняттям когерент ності. Дві хвилі називаються когерентними, якщо мають однакову частоту і різниця їх фаз залишається постійною в часі.
Інтерференцією хвиль називається явище, яке відбувається при накладанні двох або кількох когерентних хвиль, при якому відбувається стійке в часі їх взаємне підсилення в одних точках простору і ос лаблення в інших, залежно від співвідно шення між фазами цих хвиль.
Розглянемо накладання двох коге рентних косинусо їдальних хвиль, які збуджуються точ ковими джерелами і (рис. 34):
Амплітуда результуючої хвилі в точці дорівнює
Оскільки для когерентних джерел різниця початкових фаз , то результат інтерференції двох хвиль в різних точках залежить від величини , яка називається геометричною різницею ходу хвиль.
У точках, де
,
спостерігається інтерференційний макси- мум: амплітуда результуючого коливання .
В точках, де
,
спостерігається інтерференційний міні мум: амплітуда результуючого коливання
.
– порядок інтерференційного максимуму або мінімуму.
Оскільки хвильове число , де – довжина хвилі в даному середовищі, то при різниці ходу хвиль
амплітуда результуючого коливання мак си мальна. Якщо , то ця умова на бирає вигляду
.
Амплітуда результуючого коливання міні мальна в усіх точках, для яких
Якщо , то ця умова на бирає вигляду
.
При інтерференції хвиль їхня енер- гія механічно не підсумовується. Інтерфе- ренція хвиль призводить до перерозподілу енергії коливань між сусідніми областями середовища.
Особливим випадком інтерференції є стоячі хвилі. Стоячі хвилі – це хвилі, які утворюються при накладанні двох біжучих хвиль, що поширюються назустріч одна одній з однаковими частотами і амплітудами.
Нехай дві плоскі хвилі поширю ють ся назустріч одна одній вздовж осі в се ре довищі без згасання.
,
,
де – різниця фаз хвиль у точці (рис. 35).
Додавши ці рівняння і враховуючи, що , отримаємо рівняння стоячої хвилі:
Множник показує, що в точках середовища виникає коливання з тією самою ж частотою , що і коливання зустрічних хвиль
Множник , який не залежить від часу, виражає амплітуду результуючих хвиль, точніше – амплітуда як величина позитивна дорівнює абсолют ному значенню цього множника:
.
Амплітуда результуючого коливан ня залежить від координати , що виз на чає положення точок середовища.
У точках середовища, де
,
амплітуда досягає максимального зна чення . Точки, в яких максимальна, називаються пучностями або видугами стоячої хвилі.
У точках середовища, де
. Ці точки називаються вузлами стоячої хвилі. Точки середовища, що зна ходяться у вузлах, не коливаються.
Виберемо початок відліку так, щоб дорівнювало нулю. Тоді координати пучностей
,
а вузлів
.
Відстань між двома сусідніми пуч ностями отримаємо, якщо знайдемо різни цю двох значень для двох послідовних значень :
тобто відстань між сусідніми пучностями дорівнює половині довжини тих хвиль, в результаті інтерференції яких утворюється дана стояча хвиля.
Відстані вузла від найближчої пуч ності дорівнює:
.
Отже, в стоячій хвилі є ряд нерухо мих вузлових точок, які розміщені на від стані півхвилі одна від одної. Частинки між вузлами коливаються з різними амплітуда ми, від нуля у вузлі до подвійної амплітуди у пучності. Всі частинки одночасно прохо дять через положення рівноваги і одночасно досягають максимальних відхилень, отже, коливаються в однакових фазах. В суміжно му інтервалі між вузлами характер коливань такий самий, але фаза протилежна.
У стоячій хвилі енергія не перено-ситься – повна енергія коливань кожного елемента об’єму середовища, обмеженого сусіднім вузлом і пучністю, не залежить від часу. Вона лише переходить з кінетичної енергії в потенціальну енергію пружно де формованого середовища і навпаки. Відсутність перенесення енергії стоячою хвилею є результатом того, що падаюча і відбита хвилі, які утворюють цю стоячу хвилю, переносять енергію в рівних кількостях і в протилежних напрямках.
( 20. Рівняння нерозривності. Рівняння Бернуллі
Рух рідин називають течією, а су купність частинок рухомої рідини – потоком. Течію рідини називають усталеною, або стаціонарною, якщо швидкість рідини у кожній точці простору, який займає рідина, не змінюється з часом.
Рух рідин зображають за допомогою ліній течії, які проводять так, що дотичні до них збігаються за напрямком з векто рами швидкостей рідини у відповідних точ ках простору. Лінії течії вказують не тільки напрямок швидкостей, а й дають змогу зробити висновок про швидкість частинок у даному місці.
Зображаючи потік, лінії течії прово дять так, щоб їх густина, тобто кількість ліній, які пронизують одиницю площі поверхні, що проведена в потоці перпендикулярно до лінії течії, числово дорівнювала б швидкості частинок потоку в даному перерізі.
Поверхню, утворену лініями течії, про веденими через усі точки малого замкненого контуру, називають трубкою течії. Части ну рідини, обмежену трубкою течії, назива ють струминою. При стаціонарній течії частинки рухаються так, що кожна з них весь час залишається в межах певної струмини.
Розглянемо трубку течії, настільки тонку, що в кожному її перерізі швидкість можна вважати постійною (рис. 36).
Виберемо довільно два перерізи, пло щі яких дорівнюють і і перпенди кулярні до напрямку швидкoсті, відповідно, і . За одиницю часу через переріз протече об’єм рідини, який дорівнює , а через переріз – . Якщо рідина нестискувана (, де – гус тина рідини), то за одиницю часу через перерізи і протечуть однакові об’єми рідини:
.
Для нестискувальної рідини величина в довільному перерізі однієї і тієї самої трубки повинна бути однакова:
.
Це співвідношення називається рів-нянням нерозривності струмини.
Нехай по нахиленій трубці течії змін ного перерізу рухається ідеальна рідина – рідина, в якій немає внутрішнього тертя – в напрямку зліва направо (рис. 37).
Умовно виділимо область трубки, обмежену перерізами і . Нехай в міс ці перерізу швидкість рідини , тиск і висота, на якій розміщений цей пере різ, . Аналогічно в місці перерізу швидкість рідини , тиск і висота перерізу .
Визначимо зміну повної енергії, яка відбувається в цій області між перерізами і за час . За цей час маса рідини між перерізами і втікає в область, а маса що знаходиться між і , витікає з неї. Величина зміни повної енергії, яка є су мою кінетичної і потенціальної енергій ма си рідини, дорівнює різниці повних енергій мас, які витікають і втікають, :
За законом збереження енергії енер гія дорівнює роботі зовнішніх сил, що переміщують масу рідини від перерізу до перерізу :
.
Робота дорівнює роботі, яка вико нується при переміщенні всієї ділянки ріди ни, що знаходиться між перерізами і протягом такого часу , за який через ці перерізи буде перенесена маса рідини . Для перенесення маси рідини в місці розміщення перерізу рідина повинна пе реміститися на відстань , а в місці перерізу – на відстань . Зазна чимо, що і настільки малі, що величи ни швидкості , тиску і висоти між перерізами – і – є постійні. Сили, що діють на обидва кінці виділеної ділянки рідини, відповідно дорівнюють і . Сила – від’ємна, оскільки напрямлена в бік, протилежний до течії рідини.
Отже, робота зовнішніх сил із пере міщення маси
.
За законом нерозривності струмини
. В результаті
.
Враховуючи, що , отримуємо
Оскільки густина рідини , то отримуємо
.
Оскільки перерізи і вибрані довільно, тому
.
Це співвідношення називається рівнянням Бернуллі. Величина називається статич ним тиском, величина – динамічним тиском, а величина – гідростатичним тиском.
Рівняння Бернуллі можна сформу-лювати так: в стаціонарному потоці іде альної нестискуваної рідини сума статич ного, динамічного і гідростатичного тисків є сталою на довільному поперечному пе рерізі потоку.
Для трубки течії, яка розміщена го ризонтально , рівняння Бернуллі має такий вигляд:
,
де називається повним тиском.
Із рівняння Бернуллі для горизон тальної трубки течії і рівняння нерозрив ності струмини видно, що при течії рідини в горизонтальній трубці, що має різні перері зи, швидкість рідини більша в місцях звужен ня трубки, а тиск більший в місцях, де площа поперечного перерізу трубки більша.
Допоможи студентському архіву
Ми допомогли тобі — допоможи наступному студенту
Оголошення від адміністратора
Подякувати Студентському архіву довільною сумою
Admin
26.02.2023 12:38
Дякуємо, що користуєтесь нашим архівом!