ІV. ПОСТІЙНИЙ ЕЛЕКТРИЧНИЙ СТРУМ ( 49. Постійний електричний струм Явища і процеси, пов’язані з рухом електричних зарядів, становлять особливу частину вчення про електрику – електродинаміку. Електричним струмом називають всякий упорядкований рух електричних зарядів. Електричний струм, який виникає у провіднику внаслідок того, що в ньому створюється електричне поле, називається струмом провідності. Під час руху електричних зарядів порушується їхній рівномірний розподіл; поверхня провідника вже не є еквіпотенціальною поверхнею. Всередині провідника повинно бути електричне поле. Переміщення електричних зарядів – електричний струм – продовжується доти, доки всі точки провідника не будуть еквіпотенціальними. Для появи й існування електричного струму треба, щоб виконувалися дві умови: перша – наявність у даному середовищі вільних електричних зарядів. Такими зарядами в металах є електрони провідності; у газах – позитивні іони й електрони; друга – наявність у даному середовищі електричного поля, енергія якого витрачалась б на переміщення електричних зарядів. Щоб струм був тривалим, енергія електричного поля повинна поповнюватись, тобто потрібен такий пристрій, в якому би певний вид енергії безперервно перетворювався в енергію електричного поля. Такий пристрій називається джерелом електрорушійної сили, або джерелом струму. За напрямок електричного струму умовно приймають напрямок руху позитивних електричних зарядів. Кількісною мірою електричного струму служить сила струму – скалярна фізична величина, яка числово дорівнює електричному заряду, що проходить через поперечний переріз провідника за одиницю часу:
. Якщо сила струму і його напрямок з часом не змінюються, то струм називається постійним. Тоді
. Звідси
. Щоб струм був постійний, треба, щоб в кожній частині провідника заряди не нагромаджувались і не зникали. Тому коло постійного струму повинно бути замкненим. Для характеристики розподілу електричного струму по перерізу провідника вводять вектор густини струму
. Вектор
напрямлений вздовж струму і числово дорівнює силі струму, який проходить через одиницю площі перерізу провідника, який проведений перпендикулярно до напрямку струму:
. Повна сила струму у провіднику
. Виразимо силу і густину струму через швидкість
впорядкованого руху зарядів у провіднику. За час dt через поперечний переріз S переноситься заряд

. Сила струму
, отже, густина струму:
. У джерелі електрорушійної сили на електрони повинні діяти сили неелектростатичного походження, які називаються сторонніми. Сторонні сили, переміщаючи електричні заряди, виконують роботу. Фізична величина, що числово дорівнює роботі, яка виконується сторонніми силами під час переміщення одиничного позитивного заряду, називається електрорушійною силою (ЕРС), що діє в колі:
. Стороння сила
, що діє на заряд q, дорівнює:
. Робота сторонніх сил над зарядом q на замкненій ділянці кола дорівнює
. Тоді
. ЕРС, що діє в замкненому колі, визначається циркуляцією вектора напруженості сторонніх сил. ЕРС, яка діє на ділянці 1–2, дорівнює:
. Результуюча сила, що діє в колі на заряд q:
. Робота, яка виконується результуючою силою над зарядом
на ділянці 1–2, дорівнює
Напругою U12 на ділянці 1–2 називається фізична величина, що визначається роботою, яка виконується сумарним полем електростатичних і сторонніх сил при переміщенні одиничного позитивного заряду на даній ділянці кола. Отже,
. Поняття напруги є узагальненням поняття різниці потенціалів: напруга на кінцях ділянки кола дорівнює різниці потенціалів в тому випадку, якщо на цій ділянці не прикладена ЕРС. Ділянка кола, на якій на носії струму діють сторонні сили, називається неоднорідною. Ділянка кола, на якій не діють сторонні сили, називається однорідною. Для однорідної ділянки кола
. Німецький фізик Ом експериментально встановив, що сила струму I, що тече по однорідному металевому провіднику, пропорційна до напруги U на кінцях провідника:
, де R – електричний опір провідника. Це рівняння виражає закон Ома для однорідної ділянки кола. Одиниця опору – Ом: Ом – опір такого провідника, в якому при напрузі 1В тече струм силою 1А. Величина
– електрична провідність провідника. Опір провідника залежить від його розмірів і форми, а також від матеріалу, з якого виготовлений провідник. Для однорідного провідника опір R прямо пропорційний до його довжини
і обернено пропорційний до площі його поперечного перерізу S:
, де
– питомий опір. Математичний вираз закону Ома для неоднорідної ділянки кола має такий вигляд:
Силу струму треба розглядати як алгебраїчну величину. Якщо струм тече по ділянці кола від перерізу 1 до перерізу 2, то
, якщо струм тече в протилежному напрямку, то
ЕРС
є теж величиною алгебраїчною. У випадку, коли ЕРС сприяє руху позитивних носіїв струму у напрямку 1–2, то
, якщо ЕРС перешкоджає руху позитивних носіїв у цьому напрямку, то
(рис. 95). Якщо електричне коло замкнене, то точки 1 і 2 збігаються, тому
і
, де
загальний опір кола. Тому закон Ома для замкненого кола має такий вигляд:
де
алгебраїчна сума всіх електрорушійних сил, прикладених у цьому колі. Нехай замкнене електричне коло складається із джерела струму з ЕРС
і внутрішнім опором
і зовнішньої частини, яка має опір
. Тоді
Якщо коло розімкнуте, то

Це означає, що ЕРС, прикладена до розімкнутого кола, дорівнює різниці потенціалів на кінцях цього кола. Розглянемо однорідний провідник, до якого прикладена напруга U. За час dt через переріз провідника переноситься заряд
. Оскільки струм представляє переміщення заряду dq під дією електричного поля, то робота струму
. Потужність струму:
. Якщо струм проходить по нерухомому металевому провіднику, то вся робота струму йде на його нагрівання і за законом збереження енергії
. Тоді закон Джоуля – Ленца має вигляд
. ( 50. Класична електронна теорія електропровідності металів і її дослідне обґрунтування. Виведення закону Ома в диференціальній формі із електронних представлень Численні експерименти з електрики, виконані різними вченими в XIX ст., дали багатий матеріал для створення науково обґрунтованої теорії електричної провідності металів. Для вивчення природи носіїв струму в металі Г. Лоренц запропонував такий дослід. Металевий стрижень С рухався поступально з швидкістю
(рис. 97). Внаслідок взаємодії з кристалічною ґраткою носії струму в провіднику теж рухались з швидкістю
. Стрижень різко гальмувався і в момент гальмування замикався нерухомим металевим провідником В на гальванометр. Носії струму, які не зв’язані жорстко з кристалічною ґраткою, продовжували рухатись за інерцією доти, доки взаємодія з іонами ґратки не зупинить їх. У замкненому колі проходив короткочасний струм, який можна виявити за допомогою гальванометра G. За напрямком струму визначають знак рухомих зарядів. Цей дослід дав змогу визначити питомий заряд
, де
заряд носія струму,
його маса. Л. Мандельштам і Н. Папалексі виконали такий дослід: взяли котушку з намотаним на неї дротом, кінці якої були з’єднані з нерухомою телефонною трубкою. При швидких крутильних коливаннях котушки навколо її осі в колі виникав змінний струм, що викликав тріск в телефонній трубці. Цей дослід підтвердив наявність носіїв струму в дроті. Проте він не дав змоги визначити напрямок струму і знак заряду. Т. Стюарт і Р. Толмен удосконалили цей дослід, замінивши телефон чутливим гальванометром. Дослід показав, що носії струму заряджені негативно. Відношення
виявилось близьким до питомого заряду електрона. Отже, було експериментально доведено, що носіями струму в металах насправді є електрони. Класичну електронну теорію провідності металів створив П. Друде, а розвинув у своїх працях Г. Лоренц. Класична електронна теорія провідності металів, яка створена П. Друде і Г. Лоренцом, ґрунтується на таких фундаментальних положеннях: усі метали мають кристалічну будову. У вузлах кристалічної ґратки розміщаються іони металу; простір між вузлами кристалічної ґратки заповнений електронним газом, який утворюється валентними електронами, що порівняно слабко зв’язані з атомними ядрами і відриваються від атомів при утворенні кристалічної ґратки, вільні електрони рухаються хаотично між іонами металу; – в середньому кожен атом металу втрачає один електрон і концентрація електронів провідності в металах дорівнює кількості атомів в одиниці об’єму металу; до електронного газу в металах застосовані всі закони молекулярно-кінетичної теорії газів, тобто електронний газ розглядається як ідеальний газ. Під час руху електрони стикаються з іонами кристалічної ґратки металу. Середня довжина вільного пробігу електронів
за порядком величини дорівнює періоду кристалічної ґратки, тобто
. За теорією Друде – Лоренца електрони мають таку ж енергію теплового руху, як і молекули одноатомного газу. Середня швидкість теплового руху електронів
. При Т = 300К,
= 1,08
. Тепловий рух електронів, який є хаотичним, не може привести до виникнення струму. При накладанні зовнішного електричного поля на металевий провідник, крім теплового руху електронів, виникає й впорядкований рух, тобто електричний струм. Середню швидкість
впорядкованого руху електронів можна оцінити на основі формули:
. Для міді допустима густина струму
,
. Тоді

. Отже,
. Незначна величина
пояснюється досить частими зіткненнями електронів з іонами кристалічної ґратки. Здавалось би, отриманий результат суперечить тому відомому факту, що швидкість поширення електричного струму величезна і дорівнює швидкості світла с, що є швидкістю поширення електромагнітного поля вздовж провідника. Рух електронів під дією зовнішнього електричного поля виникає по всій довжині дроту практично одночасно з подачею сигналу. Найважливішим завданням класичної електронної теорії провідності металів є теоретичне виведення основних законів електричного струму, які були встановлені на досліді. Закон Ома Нехай в металевому провіднику існує електричне поле напруженістю Е = const. З боку поля на заряд діє сила
і він отримує прискорення
. За час вільного пробігу електрони рухаються рівноприскорено, набуваючи до кінця вільного пробігу швидкість
, де
– середній час між двома послідовними зіткненнями електронів з іонами ґратки. Згідно з теорією Друде в кінці вільного пробігу електрон, стикаючись з іонами ґратки, віддає їм енергію, швидкість впорядкованого руху стає нульовою. Отже,
. Класична теорія не враховує розпо- діл електронів за швидкостями, тому
визначається довжиною вільного пробігу
і середньою швидкістю руху елек- тронів відносно кристалічної ґратки про- відника, яка дорівнює
:
. Але
, і
. Тоді
. Густина струму в металевому провіднику
і
. Величину
називають питомою електропровідністю, а обернену до неї величину
– питомим опором провідника. Отже,
. Ця формула виражає закон Ома для густини струму: густина струму в провіднику дорівнює добутку питомої електропровідності провідника на напруженість електричного поля. Вектори
і
мають той самий напрямок. Тому закон Ома можна записати також у векторній формі:
. Закон Джоуля – Ленца До кінця вільного пробігу електрон під дією поля отримує додаткову кінетичну енергію
При співударі електрона з іоном ця енергія повністю передається ґратці і йде на збільшення внутрішньої енергії металу, тобто на його нагрівання. За одиницю часу електрон стикається з вузлами ґратки в середньому
разів:
. Якщо n – концентрація електронів, то за одиницю часу відбувається
зіткнень і ґратці передається енергія
, яка йде на нагрівання провідника,
густина теплової потужності струму – кількість теплоти, що виділяється за одиницю часу в одиниці об’єму провідника. Підставивши в це рівняння вираз для
, отримаємо:
Оскільки
тоді
. Ця формула для обчислення густини теплової потужності електричного струму отримана теоретично на основі уявлень класичної електронної теорії. Вона є математичним виразом закону Джоуля – Ленца в диференціальній формі. ( 51. Закон Відемана – Франца. Недоліки класичної електронної теорії провідності металів У 1853 році німецькі вчені Відеман і Франц на основі експериментів встановили закон, згідно з яким: для всіх металів при одній і тій самій температурі відношення коефіцієнта теплопровідності ( до коефіцієнта питомої електропровідності
є величина стала
. Оскільки величини ( та
залежать від температури (неявно, а через середню арифметичну швидкість та швидкість теплового руху), то наступні дослідження Лоренца довели, що
. Відомо, що теплопровідність металів переважно здійснюється за рахунок руху вільних електронів. Електронний газ в металах подібний до одноатомного ідеального газу. Тому згідно з молекулярно-кінетичною теорією коефіцієнт теплопровідності становитиме (

, звідси ( =
, де n – концентрація вільних електронів, k – стала Больцмана. Оскільки питома електропровідність
, тоді
. Середня кінетична енергія однієї молекули ідеального газу дорівнює
, де
середня квадратична швидкість. Якщо знехтувати, як це зробив Друде, відмінністю між квадратами середньої швидкості
теплового руху і їхньою середньою квадратичною швидкістю
, тобто припустити, що
тоді
. Отже,
і
. Це значення добре узгоджується з дослідними даними. Але це узгодження класичної електронної теорії виявилось порушеним. Лоренц вдосконалив теорію Друде, застосувавши до електронного газу статистику Максвелла, тобто розподіл молекул за швидкостями (Друде вважав, що всі електрони мають однакову швидкість теплового руху). Виявилось, що в тому разі
. Коефіцієнт

згідно з теорією Лоренца гірше узгоджується з дослідними даними, ніж результат Друде

. Виявляється, що уточнена класична електронна теорія, яка враховує статистичні властивості електронного газу в металах, гірше узгоджується з дослідними даними, ніж теорія Друде. Спроби застосувати класичну електронну теорію Друде – Лоренца для пояснення ряду закономірностей електрики і теплових явищ, які спостерігаються на досліді, не завжди приводили до позитивних результатів. Нездатність класичної електронної теорії пояснити деякі закони і явища свідчать про її обмеженість. Розглянемо кілька таких прикладів. І. Молярна теплоємність металу
Згідно з класичною електронною теорією молярна теплоємність
металу дорівнює сумі молярної теплоємності кристалічної ґратки
і молярної теплоємності
електронного газу, який може розглядатися як одноатомний ідеальний газ:
=
+
. Іони, що утворюють кристалічну ґратку металу, здійснюють коливання біля вузлів ґратки. Кожний іон має три коливні ступені вільності, на які в середньому припадає енергія
Внутрішня енергія моля іонів
Отже,
Молярна теплоємність електронного газу як ідеального
. Отже, молярна теплоємність металів
. Але експериментальні дані показують, що теплоємність металів, так само, як і теплоємність твердих діелектриків, близька до 3R. Отримали неочікуване і незрозуміле явище практичної відсутності теплоємності в електронного газу. ІІ. Температурна залежність опору Експериментально встановлено, що в досить широкому інтервалі температур питомий опір
(Т або
(
. Відомо, що
, а
, крім того,
(
, отже,
(
, а звідси випливає, що
(
, що суперечить дослідним даним. III. Оцінка середньої довжини вільного пробігу електронів в металах Щоб за формулою
отримати значення
, яке збігається з дослідними, треба прийняти
значно більшими від періоду кристалічної ґратки, тобто допустити, що електрон проходить без співударянь з іонами ґратки сотні міжвузлових відстаней. Таке припущення не відповідає класичній теорії Друде – Лоренца. Згадані розбіжності теорії з дослідом можна пояснити тим, що рух електронів у металах підлягає законам квантової механіки. Однак класична електронна теорія не втратила свого значення, оскільки при високих температурах вона дає правильні якісні результати і є наочною. ( 52. Робота виходу електронів з металу.Термоелектронна емісія Електрони провідності в металі весь час перебувають в хаотичному тепловому русі. Та обставина, що вільні електрони утримуються всередині металу, вказує на те, що в поверхневому шарі металу виникає затримуюче електричне поле, яке перешкоджає електронам виходити з металу в навколишній вакуум. Щоб покинути метал, електрон повинен виконати деяку роботу, яка називається роботою виходу. Одна із причин виникнення роботи виходу полягає в наступному. Якщо при тепловому русі електрон вилетить з металу, то він індукує на його поверхні позитивний заряд, який називається зарядом дзеркального відображення. Між електроном і цим зарядом виникає сила притягання, що називається силою електричного зображення і яка намагається повернути електрон назад у метал. Інша причина зумовлена тим, що біля поверхні металу у вакуумі існує “електронна хмарка”, яка заряджена негативно (рис. 98). Розміри цієї хмарки одного порядку з розмірами атомів (
). При цьому метал, охоплений негативною електронною хмаринкою, відносно вакууму заряджений позитивно (рис. 98). Позитивний потенціал внутрішньої частини металу відносно вакууму називається внутрішнім потенціалом
. Потенціальну енергію
вільних електронів
у вакуумі вважають такою, що дорівнює нулю (бо
). Тоді всередині металу з позитивним внутрішнім потенціалом
потенціальна енергія електронів провідності від’ємна:
Отже, вільні електрони в металах знаходяться в “потенціальній ямі з плоским дном” (рис. 99) (плоским через те, що поверхневий подвійний шар утворює електричне поле, подібне до поля плоского конденсатора). Для виходу електрона з металу у вакуум треба подолати потенціальний бар’єр – поле подвійного поверхневого шару. Це потребує додаткової енергії, яка має бути не меншою за глибину потенціальної ями. Роботою виходу називається величина
, що дорівнює тій найменшій додатковій енергії з протилежним знаком, яку потрібно передати електрону провідності в металі для його виходу у вакуум. Отже, числово робота виходу дорівнює:
Якщо електрону в металі надати додаткової енергії, його кінетична енергія зростає. Умову виходу електрона з металу можна записати так:
, де
проекція швидкості електрона на нормаль до поверхні металу. Додаткову енергію електрони провідності можуть отримати при освітленні металу (зовнішній фотоефект), нагріванні (термоелектронна емісія), під дією сильного електричного поля (автоелектронна емісія), при бомбардуванні поверхні металу потоком електронів у вакуумі (вторинна електронна емісія). Робота виходу залежить від хімічної природи металу і стану його поверхні. Забруднення, залишки вологи тощо змінюють величину роботи. Підібравши певним чином покриття поверхні, можна значно зменшити
. Якщо на поверхню вольфраму (
=
) нанести шар оксиду лужно-земельного металу
, то робота виходу зменшується до
. Емісія – це вихід електронів з металу під дією зовнішніх факторів. Явище термоелектронної емісії полягає в тому, що нагріті метали випускають електрони. Електрон провідності може вилетіти з будь-якого металу тоді, коли його енергія (кінетична) перевищує роботу виходу електрона з металу. Внаслідок термоелектронної емісії виникає термоелектронний струм. Явище термоелектронної емісії на практиці можна спостерігати за допомогою вакуумної лампи-діода, в яку впаяно два електроди – катод К і анод А (рис. 100). Катод нагрівається електричним струмом від батареї розжарювання
. Регулюючи за допомогою реостата
силу струму розжарювання, можна змінювати температуру катода. Від батареї на електроди подається напруга
, величину якої можна змінювати за допомогою потенціометра
і вимірювати вольтметром
. Термоелектронний струм
вимірюється гальванометром
. Сила термоелектронного струму
залежить від напруги
, яка прикладена між катодом та анодом, температури катода і матеріалу, з якого виготовлений катод. На рис. 101 подано залежність термоелектронного струму
від напруги
при різних температурах катода. Ця крива називається вольт-амперною характеристикою діода. При малих значеннях
криві при різних температурах збігаються. Ia



При невеликих анодних напругах сила струму спочатку повільно зростає з підвищенням напруги. Це пояснюється тим, що при невеликих значеннях
не всі електрони, які вийшли з катода, досягають анода. Частина електронів між катодом і анодом утворює електронну хмаринку (просторовий заряд), яка перешкоджає руху до анода електронів, які знову вилетіли з катода. Із збільшенням напруги
електронна хмаринка поступово розсіюється і струм
зростає. При
зростання струму припиняється. Це пов'язано з тим, що кількість електронів, які долітають до анода за одиницю часу, дорівнює кількості електронів, що вилітають за той самий час з катода. Максимальний термоелектронний струм, можливий при даній температурі катода, є струмом насичення
. При малих значеннях
залежність термоелектронного струму від анодної напруги описується законом Богуславського – Ленгмюра
, де В – коефіцієнт, який залежить від форми електродів та їх взаємного розміщення. Математично залежність густини струму насичення описується за класичною електронною теорією формулою Річардсона:
де
тут
відповідно, заряд, маса та концентрація електронів в металі,
стала Больцмана. Отже, за класичною електронною теорією коефіцієнт
залежить від концентрації електронів
і для різних металів є неоднаковим. За квантовою теорією густина струму насичення визначається формулою Річардсона – Дешмена:
, де
Отже, стала
є однаковою для всіх металів. Проте таке
не виявлене у жодного з металів. Розбіжності пояснюються тим, що в теоретичних розрахунках використовується модель ідеального електронного газу. Обидві теорії правильно передають експоненціальну залежність густини струму
від температури. Множники
і
відіграють другорядну роль, оскільки показникова функція змінюється значно сильніше за степеневу.